正文部分
一、阅读提示
图形变换，包括图形的平移、翻折、旋转等全等变换，也包括图形的位似等相似变换，它在初中数学几何教学及解题中的作用毋庸置疑，其重要性不言而喻.本文拟以一道经典几何最值题为例，一题多解、一题多变，从“捆绑变换”以及“旋转六法”的视角阐释其精彩.关于所谓“捆绑旋转”，主要涉及“点”动及“形”动之间局部与整体的关联性，而所谓“旋转六法”，则深刻地体现了旋转法在一类几何问题中的重要应用，本文会详细阐释何时旋转，如何旋转等关键性问题.
二、试题呈现
例题：如图1，已知P是正方形ABCD外的一点，PA＝3，PB＝4，求PC的最大值.
三、捆绑变换
为解决此题，先解释下何谓捆绑变换：
初中阶段，图形的常见变换有四种，即平移、翻折、旋转及位似.前三大变换，不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置，可称为全等变换；而位似变换不改变图形的形状，只改变图形的位置与大小，即位似变换前后的图形是相似的，且相似比等于位似比，可称为相似变换.
一般情况下，在某些多动点问题中，动点之间往往存在着某种关联性，这就导致了其运动路径之间必然也存在着某种关联性，即为运动路径的“遗传性”.下面我们举几个简单案例来说明这里所谓的“关联性”或者“遗传性”.
如图2，已知A为定点，B为动点，M为线段AB的中点.中点M随着动点B的运动而运动、确定而确定，这里B不妨称之为主动点，而M可称之为从动点.
如图3，当主动点B的路径为线段时，易知从动点M的路径也为线段；如图4，当主动点B的路径为圆时，易知从动点M的路径也为圆；
甚至于当主动点B的路径为任意曲线时，从动点M的路径必然与其相似，且相似比为1/2，如图5所示.
前面案例的本质就是位似变换，两段路径关于定点A成位似图形，且位似比等于相似比.从这个角度看，中点可以改成线段上任意确定的点，譬如满足AM/AB=k，k为常数等.
下面将案例升级如下：
如图6，已知A是定点，P是定线段BC上一动点，以A为直角顶点作等腰Rt△APQ（A、P、Q按逆时针排序），则Q也是一个动点，可称为从动点，而P为主动点；
在图7中，主动点P的路径由线段变成了⊙O，其他条件不变，你能确定从动点Q的运动路径吗？
对于这两个例子，我们依然可以从图形变换的角度去分析两个动点之间的关联性：从动点Q随着主动点P的运动而运动、确定而确定.这里定点A可视为旋转中心，由∠A＝90°及AP＝AQ可以将点Q看成是由主动点P以定点A为旋转中心，按逆时针方向旋转90°而来.每一个点Q都是相应的点P如是而来，自然地，点Q的运动路径当然就是由点P的运动路径如是而来，如图8及图9所示；
这里“红实线”表示主动点P的运动路径，“蓝虚线”表示从动点Q的运动路径.
“线段生线段”、“圆生圆”，可谓“种瓜得瓜，种豆得豆”，直观形象，不言而喻.
需要特别强调的是，这里的旋转中心A一定要是定点，否则这里的“瓜豆”之说自然就不成立了!
这两个案例的本质就是旋转变换，由于旋转不改变图形的形状与大小，因此从动点Q的运动路径与主动点P的运动路径是全等的，它们的路径长也是相等的.
最后我们再举两个案例，将难度再升级：
如图10，已知A是定点，P是定线段BC上一动点，以P为直角顶点作等腰Rt△APQ（A、P、Q按逆时针排序），则Q也是一个动点，可称为从动点，而P为主动点；
在图11中，主动点P的路径由线段变成了⊙O，其他条件不变，请确定从动点Q的运动路径.
“种瓜得瓜，种豆得豆”，“瓜豆”之说，屡屡显灵.
需要注意的是，“两点确定一条直线”，对于图12，从动点Q的运动路径只需要确定两个端点即可.而要想确定一个圆，首先应该找其圆心，再确定半径.
对于图13，从动点Q的运动路径圆，其圆心也是由原来的圆心O同理而来，而其半径即为⊙O半径的根号2倍.
再次强调，这里的旋转中心或位似中心A一定要是定点，否则“瓜豆”之说必然不成立.这两个案例的本质是旋转变换与位似变换的合成，不妨称之为“旋似变换”，而定点A可称为“旋似中心”.由于旋转变换及位似变换都不改变图形的形状，且“旋似变换”前后的两段路径成相似关系，且相似比等于位似比，因此从动点Q的路径长与主动点P的路径长之比一定等于位似比，这个结论可以直接秒杀相关的路径长问题.
上述所有案例的本质是，将一个点的运动看成了这个点所在的整个图形的变换，即所谓的捆绑变换，也就是一种整体思想而已，相当于代数运算里的整体代入，它深刻地刻画了图形变换中局部与整体之间的关联性.
四、通法引路
解法一：捆绑变换法
第一步：如图14，由题可视PB为定线段，其长为4，这里定点B可视为旋转中心；由PA＝3，可视A为主动点，其运动路径为以定点P为圆心，定长3为半径的圆；而目标点C可视为从动点，连接AC，锁定等腰Rt△ABC；
第二步：如图15，红线⊙P代表主动点A的运动路径，由等腰Rt△ABC结合捆绑变换的原理可知，从动点C的运动路径为蓝线⊙P′，其圆心P′是由点P绕着定点B按顺时针方向旋转90°而来，而其半径依然为3；
解题后反思：越类比，越有趣！“捆绑法”与“旋转法”一脉相承，前者相较于后者，看似多了一些辅助圆以及一些图形变换的“招式”，但“捆绑法”给我们提供了一条明线，它告诉了我们，“旋转法”里为什么要那样添加辅助线.所以，笔者更倾向于前者，授之以鱼不如授之以渔.当然，“旋转法”也具备自身的优势，它不必辨析动点之间的位置变换关系，看上去更简洁.
五、妙法迭出
下面继续推进，介绍所谓“旋转六法”（学悟于网络大神哈尔滨“金狮子”） .
说起“旋转六法”，不妨再试试，将解法一中第二种“捆绑法”中的圆全部隐去，看看能否自然生成第二种“旋转法”，即为下面的解法.
解题后反思：这里的“旋转相似法”与解法一中第二种“捆绑法”一脉相承，前者相当于后者的精简版，后者相当于前者的完整版，前者偏向于旋转模型的构造，后者偏向于动点间位置变换关系的分析；前者告诉我们“是什么”，后者告诉我们“为什么”.
接下来，继续推进“旋转六法”：由于本题中等腰Rt△ABC的形状是确定的，可以视P是动点，因此可以理解为线段PA、PB、PC分别绕点A、B、C三点作旋转，利用旋转建立起PA、PB、PC三者之间的关系，此类旋转方式可以有六种（含上面的两种解法），故称之为“旋转六法”.
下面笔者仅提供其他四种“旋转法”的简图，供大家研究类比.
解法四：旋转全等法 →绕B逆转（如下图，略）
解法五：旋转相似法 →绕A逆转（如下图，略）
解法六：旋转相似法 →绕C顺转（如下图，略）
解法七：旋转相似法 →绕C逆转（如下图，略）
解题后反思：至此，“旋转六法”已全部呈现，从这个角度来看，“旋转法”相较于“瓜豆法”看上去更“牛气哄哄”，可以让人脑洞大开，思维无极限.而且“旋转法”中视点P为动点，而“瓜豆法”中却视点P为定点，这种动静转化也值得大家关注，正如世界上没有绝对静止的东西一样，解题的世界也并没有绝对的套路，建立模型，再打破模型，后重建模型，如此反复循环，解题之道才能越铺越远.
另外，“旋转六法”中，相比较而言，构造“共直角顶点的双等腰直角三角形模型”比“共45°角顶点的双等腰直角三角形模型”更简单些，大家不妨比比看.
对于此题，最后再介绍一种秒杀法，即托勒密不等式法.
引理1：托勒密(Ptolemy)定理
圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.
如图35，圆的内接四边形ABCD中，一定有AB×CD＋BC×AD＝AC×BD成立.
引理2：托勒密(Ptolemy)定理的推广之托勒密不等式
任意凸四边形的两组对边乘积之和不小于其对角线的乘积，当且仅当此凸四边形的四个顶点共圆或共线时取等号.
对于任意的凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD＋AD·BC，当且仅当A、B、C、D四点共圆或共线时取等号.
解题后反思：上面的等号是否能取到，即最大值能否取到，大家可以画图检验下，由A、P、B、C四点共圆及∠ACB＝45°知∠APB＝135°，据此画出符合题意的图形即可，如图37，检验或验算是一种重要的解题好习惯.
例题中的正方形问题本质就是等腰直角三角形问题，从这个角度分析，原题还可以有若干变式，“捆绑法”以及“旋转法”都是处理此类最值问题的通解通法.
六、练习提升
1.如图38，已知P是正方形ABCD外的一点，对角线AC、BD相交于点O，且PA＝3，PB＝4，求PO的最大值.
2.如图39，已知P是等边DABC外的一点，且PA＝3，PB＝4，求PC的最值.
3.如图40，在RtDABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝3/4，P是DABC外的一点，且PA＝3，PB＝4，求PC的最值.
4.如图41，已知P是正六边形ABCDEF外的一点，且PA＝3，PB＝4，求PC、PD、PE、PF的最大值.
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