前段时间在微信号上发表一篇为“三角函数区间问题的秒杀”这篇文章,有朋友询问:在求初相时为什么要用最值点求,而不能用零点求?其实是可以用零点求的,只是思维量要大于用最值点求初相的思维量,所以教师在教学时,通常强调用最值点求。
我们尝试利用零点求解:
求出两个答案,显然有一个是不正确的,我们需要去舍去一个不符合题意的答案,为什么会出现这一情况,为了解释这一问题,我们今天重新认识这位老朋友“初相位”!
我们知道从物理中的简谐运动解释三角函数:
相位是对于一个波,特定的时刻在它循环中的位置:一种它是否在波峰、波谷或它们之间的某点的标度。相位描述信号波形变化的度量,通常以度(角度)作为单位,也称作相角。而初相位是指在0时的相位,也称初相角或初相。初相反映了交流电交变的起点,与时间起点的选择有关。
也就是说在伸缩(周期)变换中,我们可以把三角函数看作动态的有弹性的钢绳,在伸缩(周期)变换中,把与y轴交点的点固定,其余的都向y轴方向压缩或者拉伸而得到!
通过以上的图形演示,我们能够发现,在未涉及振幅变换时,函数图像的质点在变化前后的单调趋势并没有改变,所以,我们借助于单调性,就可以把这一问题唯一化。我们返回再看,最初的问题:
在这道改编后的问题中,没有了M的坐标,不易求出周期,那我们能否通过点P与点N的坐标求出周期呢?我们有之前的伸缩平移变换中知道,这些质点在变化中的相对位置是不变的,也就是说比例相同。所以,我们也可以借助于这两点的相对位置求出周期。
很容易发现,我们所用的结论:
对于正弦型函数,相邻两个对称轴(最值点)之间的距离是周期的一半,相邻两个对称中心之间的距离是周期的一半,相邻的对称轴与对称中心之间的水平距离是周期的四分之一。这是这一问题的特殊情况。
我们再回到原始问题,可以通过完整一个周期的图像直接得到函数的初相:
我们从运动的角度更容易直观地刻画函数图像变换的“前世今生”,图像变换的本质就是点的变换,再从点的变换到形的变换,最后从形变换的表象中实现了点与点变换本质的把握。
怎么样,通过这篇文章,你是不是对三角函数的“初相位”有了新的认识,更透彻的认识。
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