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以下是河南许昌丁位卿老师和四川邛崃市赖虎强老师合作的word文章《张角定理与两线段的倒数和(差)问题》:
张角定理与两线段的倒数和(差)问题
丁位卿 赖虎强
曾在重庆一中听张院士点评数学展示课,他对一道“两线段的倒数和的最大值”问题,提出用张角定理会让思考更简捷,解答更简明.受此启发,再次思考张角定理的地位与价值.张角定理,由正弦面积公式推导而来,与面积法与三角函数紧密相连,它是处理部分平面几何难题的解题利器.
著名的美籍匈牙利数学家波利亚曾经说过“当你找到第一个蘑菇后要环顾四周因为它们总是成堆生长的.”我们进一步发现,张角定理对部分“两线段的倒数和(差)”的问题,常常带来思考与解法的便捷.
此题解法见《张院士高屋建瓴点评数学展示课,附:两线段倒数和最值问题的三种解法》一文.
小编注:当OB=OD时,求证:OI=OJ,即是1990年冬令营选拔赛第3题(筝形蝴蝶定理):
在“筝形”四边形ABCD 中,AB=AD,BC=CD,过AC,BD 的交点O 任作两条直线,分别交AD 于E,交BC 于F,交AB 于G,交CD 于H,GF、EH 分别交BD 于I、J,求证:IO=OJ.
解答见上期《再谈1990年冬令营选拔赛第3题(筝形蝴蝶定理)---两线段的倒数和(差)问题(中)》,在文末附有该文链接.
以下是《张院士高屋建瓴点评数学展示课(附:两线段倒数和最值问题的三种解法)》,作者:赖虎强(四川邛崃市)
为了结合实践研讨张景中院士教育数学思想,重庆师范大学、重庆市第一中学于2017 年6 月23 日在重庆举办“张景中院士教育数学思想研究暨实践研讨会”。张景中院士、重庆师大数学科学学院领导、数学教育方向教师及研究生;重庆市教育科学研究院研究员;重庆一中、重庆八中、重庆三中、重庆巴蜀中学、西南大学附中、重庆育才中学、重庆外国语学校、重庆市大学城一中等学校领导及教师代表。本次活动,尧刚先生做了大量策划、协调工作。教育数学实践与推动专家李兴贵院长、赖虎强、陆兴华,也参与了本次活动,并作专题讲座交流。张景中院士作了《教育数学思想及实践简介》专题讲座。笔者的发言题目是《教育数学“重建三角”课改方案及实施策略——以重庆中考题三角法解题为例》。
会议分为两部分:上午在重庆师范大学进行了教育数学讲座与交流活动;下午在重庆一中进行教育数学课例展示与点评活动,展示课由重庆一中、重庆八中两位数学老师担任。会后,数学教育专家,重庆南开中学杨飞老师作了《参加张景中院士教育数学思想研讨会有感》,对本次活动及时进行了记载。文稿精彩生动,已上传于“张景中教育数学实践”QQ 群共享文件中。
这里,侧重以重庆八中S 老师的展示课——《向量在求解代数与几何问题中的应用》中的习题点评与分析为侧重点,再作回顾与探讨。
三、三角法视野求解再探索
张景中先生重视三角法,提出初等数学结构改革方案——“重建三角,全
局皆活”,主张一线串通:小学、初中、高中数学一线串通;计算、推理、画图一线串通;代数、三角、几何一线串通。张院士倡导一线串通,与华罗庚“一条龙”教学法有相近之处。华罗庚将数学视为一个内在紧密联系的整体,他认为将数学分为微积分、高等代数、复变函数等分别进行教学,是人为地将数学割裂开来,不利于学生的学习和全面发展。根据这一思想,华罗庚在中国科大首创“一条龙”教学法,把所有数学基础课放在一起,作为相互关联的课程统一安排教学,使各们学科相互渗透。这就有了后来著名的“华龙”、“关龙”、“吴龙”,由华罗庚、关肇直、吴文俊分别主持。在《高等数学引论》一书中,可以发现多处华罗庚先生精心设置的重要概念、重要方法的“伏笔”。华罗庚先生认为:“我讲书喜欢埋些伏笔,把有些重要概念、重要方法尽可能早地在具体问题中提出,并且不止一次地提出,目的在于将来进一步学习的时候会较易接受高深的方法,很可能高深方法就是早已有之的的朴素简单的方法的抽象加工而已。”
具体来说,“重建三角”实验方案,主张用单位菱形面积定义正弦,并将高中的正弦三角形面积公式、正弦定理、余弦定理、正弦和角公式适度、适时下移到初中。其中,正弦三角形面积公式是新方案的顶层设计与逻辑中心、解题利器。若学生从初一开始就接触任意三角形的通性通法——正弦三角形面积公式、正弦定理、余弦定理。经过四至五年的反复应用,自然熟能生巧!
利用三角法,对例2还有哪些解法呢?能不能“无辅”求解呢?
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