在学校里,我们都知道方程就像一个天平。如果你在一边加上一个数字,你需要在另一边加上相同的数字。当然,其他操作也是如此。这意味着,一个方程,即使它只表示一个东西,也可以用不止一种方式表示。例如,让我们看一下等式a + b = c,其中a,b,c是满足这个等式的任意数。这种关系实际上可以用三种不同的方式来表示,即:
a + b = c
a = c - b
b = c - a
注意,在这三种表示中,a和b都显示了一种对称关系,你可以在不改变关系本身的情况下对它们置换。如果你在第一个方程中交换它们,表达式保持不变,因为a + b = b + a,如果你在第二个方程中交换它们,你得到第三个,反之亦然,但你没有改变它们之间的关系。注意,如果你交换a和c,这就不成立了!一定有一种方法可以将对称性和所有的表现形式一起展示在一个物体上,然后就会有一些关于不对称的规则。
可视化方程
我建议使用数学图表。图由节点和连接节点的边(关系)组成。例如,你可以把微信这样的社交网络看作一个巨大的图表,其中的人是节点,友谊是边。我们的方程图中的节点和边将分别是数字和数字之间的运算。通过这种方式,我们将所有表示封装在一个对象中。让我给你一个新的符号,然后解释为什么它这么棒。下面的图(三角形)表示了等式a + b = c。
如,在上面的三角形中。如果我们沿着有向边从c到a,那么c - a = b;如果我们沿着另一条有向边从c到b,那么c - b = a;如果沿着连接a和b的这条边,我们会得到a + b = c。这是学生学习如何解方程的一个很好的记忆法则。如果等式两边都包含运算呢?下面是方程a + b = c + d的图解。
请注意,这与上面的逻辑是一致的。无论a + b是什么,它都是由中间的空节点表示的,如果我们从空节点开始跟踪这个节点到后面的数字d那么就有a + b - d = c。我们不会就此止步。我们有另一个三角形,有着完全相同的图案,但操作不同——乘法图。假设我们有一个这样的方程a⋅ b = c,这同样有三种表示。