破解三角形画“高”

三角形画“高”是人教版四年级下册《三角形的认识》一课中的内容，历来被教师公认为难点。教过高年级的教师都深有感触，有些学生即使到了小学毕业，三角形画“高”仍存在问题，其典型错误如下：

笔者将上述典型错误分为四类，并从学生的认知心理及教师的教学方法等方面做了成因分析。

第一类：“高”没有从顶点出发（错误见③ ⑧） 

成因分析：什么是三角形的“高”？没有真正理解

关于“高”，学生并不陌生，对生活中的“高”和平行四边形的“高”都有一定的经验基础，这些经验基础对学生认识三角形的“高”有一定的帮助。但同时，也会带来负迁移。部分学生认为三角形“高”的含义与平行四边形“高”的含义相同，画“高”的方法也相同。实则两者的含义是有区别的，平行四边形的“高”实质是平行线之间的距离，而三角形的“高”是最高点到对边的距离。因此，在画“高”时，平行四边形可从对边的任意一点到底边引垂线段，三角形就不一样，必须从“顶点”出发。教学中，教师没有点破其中的区别，学生便会出现此类错误。

第二类：“高”与底不对应（错误见① ⑥ ⑩） 

成因分析：不明确三角形中底与“高”的相互对应关系

生活中接触的“高”，一般是以水平边为底，方向是垂直的，“高”也是唯一的。然而，数学中三角形的“高”却复杂得多，在一个三角形中有三组不同的底和“高”，“高”会随着底的变换而变换。当以斜边为底时，所对应的高也不再是垂直方向，这与生活经验产生了强烈的冲突，学生觉得难以理解。不少同学在画斜边上的“高”时翻来覆去地摆弄三角板，不知所措便是证明。教学中，教师又缺乏有效的教学手段促成学生理解数学中的“高”，明确底与“高”的相互对应关系。最后，学生或置“斜底”不顾，仍画了水平边上的“高”，或画出与顶点所在边垂直的“高”。

第三类：“高”与底假垂直（错误见② ⑦ ⑨）  

成因分析：三角板的摆放不够规范

这一类错误的同学已经能找到“高”的位置，但是三角板的摆放不够规范、到位。三角形画“高”需要做到“双重合”，即“边重合”——三角尺的一条直角边与底边重合；“点重合”——另一条直角边与顶点重合，对于四年级学生来说，存在一定的难度。观察学生的画“高”过程，起先能做到“边重合”，但三角板移动至“点重合”时，注意力发生了转移，顾此失彼，不能兼顾到边是否仍然重合。教学上也有值得商榷之处：一是教师示范不到位。一般地，教师只示范水平底上画“高”时三角板的摆放，至于斜边上画“高”，往往因时间不允许而请学生自主尝试。殊不知，斜边为底时三角板该如何放置恰恰是学生的盲区。二是缺乏画“高”步骤的提炼。如今的课堂，比较注重放手让学生自主，但“放”后不“收”，关键步骤的提炼环节往往被忽视。

第四类：不会找直角边上的“高”（错误见④ ⑤） 

成因分析：认为“高”一定在三角形内部

给锐角三角形画高后，学生思维上产生一种定势，即“高”都在三角形内部。即使老师课上对直角边为底画“高”已作引导，但学生独立画“高”时，这种固有的思维定势仍在干扰。因此，有的把“高”画在了三角形中间，有的把“高”画在非常接近另一条直角边的位置，但就是不重合。 

那么针对学生出现的错误，如何顺应学生的认知心理特点，在课堂教学中有的放矢，有效破解三角形画“高”这一难点呢？笔者翻阅了大量的资料，在借鉴了许多教师宝贵经验的基础上进行了个性化处理，悟出破解之术，并付诸实践，收效不错，现阐述如下。

比较中理解“高”的含义 

比身高，启发“高”须从顶点出发 

从学生熟悉的比身高进行启发。当两人站在一起比身高时，谁高谁矮一定要看两人的头顶，而不能比两人的肩膀谁高。上课时先请两位同学上台比身高，突出“高”应从头顶即最高点开始测量。

比三角形的高，渗透三组不同的底和“高”

笔者尝试从比三角形哪个高入手。让学生拿出事先准备好的硬纸做的三角形，比一比哪个三角形高一些。在同桌合作活动中，学生会把三角形竖起来，使三角形的一条边和桌子边贴在一起，比谁的三角形高一些。（如图1）这样他们很容易就想到了要看最上面的一个顶点的位置。因为那个点是最高的，在比的过程中学生为了证明自己的三角形高一些，还会变换与桌子边贴在一起的那条边。（如图2）这时他们又能发现当放在底下的一条边变化时，三角形的高度也会发生变化。从而得出三角形有三个不同的高度，同时，也将底与“高”是相对应的，在一个三角形中，应有三组不同的底和高这一知识点渗透成功。

沟通中解析作“高”的实质 

三角形高的定义是：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。从定义剖析可知，画“高”的实质是学生已学会的“过直线外一点画已知直线的垂线”。因此，帮助学生打通新旧知识的联系，能起到“事半功倍”的教学效果。 

温习旧“技” 

过直线外一点作已知直线的垂线：

画完后，请学生说说画垂线时三角板是怎么摆放的。

沟通新知 

把已知直线上的两点分别与直线外一点连结（擦去多余的线条，并将所画垂线改成虚线），便出现了三个三角形。如下：

引导：点到直线的垂线段，在三角形中就是什么？沟通新旧知识的联系，解析画“高”的实质——三角形画“高”的方法与经过直线外一点画垂线段的方法是相同的。 

明确对应  

明确底所对应的顶点，是准确画“高”的先决条件。有必要向学生讲明，底所对应的顶点即除了与底边相连的两个顶点外的另一个顶点。 

课上笔者组织了游戏：（出示四个方位、形状都不一的三角形，顶点处分别标上字母）。比比谁的反应快？老师说表示顶点的字母，学生抢答与这个顶点相对的边；如果老师指着三角形的一条边，学生抢答与这条边相对的顶点的字母。在轻松的游戏中明确对应的底和顶点，为正确地画“高”打下伏笔。

规范、借鉴中保证画“高”的准确性

选择好示范的时机 

从学生的错误看，笔者以为，斜边上画“高”比水平边上画“高”更有示范的必要性。教师要选择好示范的时机，示范在“刀刃”上。 

提炼画“高”的步骤 

示范的同时不忘引导学生提炼出画“高”的步骤：①重合边②重合点③画线、标记。有了步骤作支撑，学生会不断地将之内化为一种规范，从而画出准确的“高”，养成良好的作图习惯。 

借鉴“尺板作高法” 

四年级学生借用工具作图的动手协作、准确把握等能力尚处于初级阶段，对于一部分学生来说，要掌握三角形正确画“高”的技能，必须通过很多次的协同操练。对于这部分学生，须另寻他法。 

笔者借鉴了上虞市实验小学一教改项目的研究成果，向学生介绍“尺板画高法”，收到了较好的效果。所谓“尺板画高法”，即用一块三角板再辅以直尺协同高，“尺”对“底”，“边”对“点”。（如下图）直尺当“轨道”，三角板当作“小火车”，紧扣住“轨道”移动，另一条直角边“开”到顶点停下，画高。“尺板画高法”比起“一板画高法”看似工具多了，复杂了，而实践证明，教师教得轻松，学生也学得轻松。 

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