极限理论的抽象过程——导数与微积分

有了前面的关于极限的符号表达，我们就能够很好地阐述导数与微积分了。

令F(x)表示一个函数，对于给定x₀，如果下面的极限

F(x₀)=lim(x→x₀)[F(X)-F(x₀)]/(x-x₀)

存在，则称函数F (x)在x₀处是可导的，并称f(x₀)为F (x)在x₀处的导数；如果F (x)在区间[a,b]上的任何一点x处都是可导的，则称f(x)为函数F (x)的导函数，记为Df/dx=f(x)。于是，关于牛顿的运动规律，我们可以表述为：运动方程的导数为速度，速度方程的导数为加速度。这个表述是具有一般性的，比如，经济方程的导数为经济增长速度，经济增长速度方程的导数为经济增长加速度等等。

借助导数的表达，我们很容易得到微分的表达式dF=f(x)dx，也很容易得到不定积分的表达F(x)=∫^x_af(t)dt。其中a是一个给定的常数，并且有F’(x)=f(t)。我们很容易把不定积分转化为定积分，即转化为∫^b_af(x)dx=F(b)-F（a)给出的牛顿-莱布尼茨公式。由此可以进一步看到，微分与积分的关系是十分密切的，我们也可以从积分的角度来表达牛顿所描述的运动规律：加速度的不定积分是速度，速度的不定积分是运动方程。