代数的进一步发展——三次方程的几何解法

从希腊时代起，数学就分为两大分支：几何学和代数学，一个研究几何图形，另一个研究数字。但是，这两个分支间并没有十分明确的界限。由于着眼点的不同，各个文明时期会偏重于其中某一分支。下面我们将从解三次方程的故事看一下代数学的发展以及它与几何学的关系。

来自花剌子密的代数论文《移项与化简的科学》的题目中的术语'al-jahr(移项）”（第七章）是代数学(algebra)的由来。花剌子密以文字形式描述了他的代数及解方程的过程。他用客观存在的事物命名了未知量的幂x名为物体，x²名为财富，x³名为立方体。

阿尔·花拉子密（ 英语：Al - Khwarizmi，约780～约850），全名穆罕默德·本·穆萨·阿尔·花剌子模(Abu Abdulloh Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy)，拉丁名阿尔戈利兹姆(Algorismus)。出生于波斯帝国大呼罗珊地区的花剌子模。著名波斯-塔吉克数学家、天文学家、地理学家。代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”。

这些名字不是一成不变的。斐波那契在1202年出版的《算经》中，他除了使用了自己的命名外，还使用了一些从阿拉伯语翻译而来的名字。例如用根(radix)来命名平方根，用立方体来命名x³。《算经》描述了'9个印度数字”和“零＂，对阿拉伯数字的传播起到了重要的作用

花剌子密写于9世纪前期的著作之中，他把二次方程分成六种类型，每种类型的系数和解都是正数。解法是通过几何实例加以证明的，而且这一证法与巴比伦人的填补正方形的证明方法在本质上是一样的。11世纪欧玛尔·海亚姆发现了用几何方法解三次方程的方法，即三次方程的解可以通过两个圆锥曲线的交点求出。与二次方程一样，这里三次方程的系数和解都必须是正数。欧玛尔·海亚姆没有找到三次方程的一般代数解，但是他使用希腊人的几何学解代数方程的方法是非常新颖的。用他自己的话来说，代数是被证明了的几何事实。同时他希望后来的数学家们能发现一般三次方程的纯代数解（遗憾的是，欧玛尔·海亚姆的《代数》似乎没有像其他阿拉伯教科书那样被翻译成拉丁文。

数学家们的确发现了三次方程的一般代数解，即通过有限的代数步骤求出方程的解，但这巳经是四百年后的意大利文艺复兴时期的事了。三次方程的近似解则要更早一些。例如，1225年斐波那契发表了一篇关于三次方程的论文。该论文给出了一个特殊类型的三次方程的一般近似解。但遗憾的是，他没有给出求解方法。三次方程的求解方法，实际上也是四次方程的求解方法，是吉罗拉莫·卡尔达诺il(GirolamoCardano,1501年-1576年）在他的《大衍术》(1545年）中率先提出的。但是，这一解法不是卡尔达诺本人的发现。第一个真正的解法，是由波伦亚数学教授费罗（ScipionedelFerro,约1465年-1526年）给出的。他没有发表他的解法．而是传授给了他的学生玛丽亚·菲奥尔(MariaFior)。菲奥尔把这一结果看成是他成名得利的依据，在解题挑战赛中向其他数学家们挑战。然而，菲奥尔似乎是一位平庸的数学家，三次方程的求解方法似乎是他的唯一武器另一位数学家尼可罗丰坦那(NiccoloFontana,约1500年-1557年）当时也在研究三次方程的解法。由于他幼年在布雷西亚受法军攻击时挨了一马刀，愈后语言功能受损，故被称为塔尔塔利亚，即意大利语的“口吃者”，并以此闻名于世。1535年，菲奥尔与塔尔塔利亚相互挑战，而在2月12日的夜晚，塔尔塔利亚声称他也解出了三次方程。结果塔尔塔利亚赢得了挑战赛的胜利：他解出了菲奥尔提出的所有问题，菲奥尔却没有答出对方所提出的任何问题。那时，人们认为三次方程不是单一种类的方程式，而是与花刺子密的二次方程--样，按等号两侧的内容分成不同的类型。因此，似乎塔尔塔利亚不仅给出了菲奥尔提出的那一类型的三次方程的解，而且还解出了其他一-些类型的三次方程。

卡尔达诺说服了塔尔塔利亚把解法告诉了他，而卡尔达诺的三次方程解法，本质上是几何学的“立方体填补法”。这类似于正方形的填补法。然而该方法的说明，仍采用了花剌子密的风格，需要冗长的语言叙述，并且依赖于三次方程的分类，同时仍要求三次方程的系数为正数。通过变换，他把复杂的三次方程转化成了简单、可解的三次方程。这一工作使得卡尔达诺超越了费罗和塔尔塔利亚。卡尔达诺还注意到，在求解的过程中会产生负数的平方根，而对着这些复杂的数，他显示出科学家固有的慎重态度。虽然他认为这些解尤意义，却没有忽视这些解。在一次研究中，他花费了很长的时间，来寻找现在称为共辄复数的乘法运算规则。他得到了正确的答案。他给出了三次方程有虚根的条件，但是没有进一步研究这一新型的数。在1572年，拉菲尔·邦贝利(RafaelBomhelli,1526年～约1572年）出版了他的《代数学》。在书中，他把数的领域扩张到了平方根、立方根和复数，并在用代数解几何问题及用几何方法解代数问题方面迈出了一大步。但遗撼的是，由于他的主要研究没有被其编者发表，到了20世纪才得以出版。因此他对当时的数学没有产生太大的影响。