高中数学：三角函数中的数学思想方法

三角函数是高中数学的重要内容，它蕴含着丰富的数学思想方法。灵活地借助数学思想方法解题，往往可以避免复杂的运算，优化解题过程，降低解题难度。本文能过实例介绍几种常用的数学思想方法。

一. 方程的思想

例1. 已知sinθ+cosθ=

，θ

（0，π），则cotθ=________。

解析：由sinθ+cosθ=

平方得

sinθcosθ=

。

又θ

（0，π），

所以sinθ＞0，cosθ＜0，

且sinθ＞

，

将sinθ，cosθ看作是方程

的两根。

所以sinθ=

，cosθ=

。

从而cotθ=

，应填

。

二. 函数的思想

例2. 已知x，y ∈[

]，且x³+sinx-2a=0①，4y³+sinycosy+a=0②，求cos(x+2y)的值。

解析：设f(u)=u³+sinu。

由①式得f(x)=2a，由②式得

f(2y)=－2a。

因为f（u）在区间[

]上是单调奇函数，

所以f(x)=-f(2y)=f(-2y)。

又所因x,-2y∈[

]，

所以x=-2y，即x+2y=0。

所以cos(x+2y)=1。

三. 数形结合的思想

例3. 函数f(x)=sinx+2

，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是______。

解析：f(x)=

函数f(x)=sinx+2

，x∈[0，2π]的图象（如图1）与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则1＜k＜3。

四. 化归的思想

例4. 设α为第四象限的角，若

，则tan2α=_________。

解析：因为

=

=

=

，

所以，tan²

=

。

又因为

为第四象限的角，

所以tan

=

，

从而求得tan2

=

。

五. 分类讨论的思想

例5. 若△ABC的三内角满足sinA=

①，问此三角形是否可能为直角三角形？

解析：假设△ABC可以为直角三角形。

（1）若B=90°，则A=90°-C，代入①中，得

sin(90°-C)=

，

所以cos²C=1+sinC，1-sin²C=1+sinC，

所以sinC=1，即C=90°。这是不可能的，所以B≠90°。

（2）同理，C≠90°。

（3）若A=90°。

①式右边=

①式左边=sinA=sin90°=1。

所以此三角形可为直角三角形，此时A=90°。

六. 换元的方法

例6. 已知sin³θ+cos³θ=1，求sinθ+cosθ的值。

解析：因为sin³θ+cos³θ

=(sinθ+cosθ)(sin²θ+cos²θ-sinθcosθ)

=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)

所以(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)=1。

设sinθ+cosθ=x(

)，

则sinθcosθ=

。

所以x

，

即x³-3x+2=0，(x-1)²(x+2)=0。

因为

，

所以x-1=0，得x=1。

所以sinθ+cosθ=1。

七. 整体的方法

例7. 证明cos

。

证明：设

，

b=

，

则ab=

=

=

。

因为b≠0，

所以a=

。即原式得证。

八. 类比联想的方法

例8. 已知λ为非零常数，x∈R，且f(x+λ)=

。问f(x)是否是周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。

分析：由于探索的是周期函数的问题，容易联想到三角函数。又f(x+λ)=

的结构的形式极易与tan(x+

)=

进行类比，故可把tanx看成是f(x)的一个原型实例，且题中的λ相当于实例中的

。由于周期函数tanx的周期T=4·

，故可猜想f(x)也为周期函数，且周期为4λ。

解：f(x+2λ)=f[(x+λ)+λ]

=

，

则f(x+4

)=f[(x+2

)+2

]

=

。

所以f(x)是周期函数，且4

是它的一个周期。

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