两个极其相似的数论定理，结论却截然不同

你知道吗，如果你在一个定理的条件中只改变一点，会发生什么？在这里，我想向你展示两个非常不可思议的类似的定理，它们会让你明白数学中每个数字和每个符号的重要性。

第一个定理是：

对于任何非零自然数n，如果（2^n）-1是一个素数，那么n也是一个素数。

而第二个是：

对于任何非零自然数n，如果（2^n）+1是一个素数，那么n是2的完全幂。

这两个结论是多么的不同。那么，我们来证明第一条定理。

定理证明的常见方法之一是矛盾法。

1. 假设n现在是一个素数。因此，根据素数定义的否定，n可以表示为两个数字的乘积：

2. 因此我们可以用a^n-b^n因式分解公式重写原表达式：

3. 由于a大于1而不等于n，表达式（2^a）-1大于1并且是（2^n）-1的除数。因此，（2^n）-1不是质数，根据定理的条件，这是错误的。矛盾！因此该定理为真。

现在我们来证明第二条定理，使用同样的方法。

1. 假设n不是2的完全幂。因此n可以表示为2^k的乘积，其中k为非负整数，a为奇数：

2. 因此，我们可以重写原表达式：

3. 由于（2^n）+1能被2^(2^k)+1整除，所以它不是一个素数。矛盾！因此n是2的一个完全幂。

正如你所看到的，如果在定理的条件中只改变一个符号，可以得到一个极其不同的结论。因此我们应该谨慎对待数学。