其中d是任意角度。让我们把G(d)表示为某个特定的圆构型。我们可以写出任意圆的构型:其中I是原始位置,d是某个角度。例如,旋转90度的圆是G(90) = I + 90。但是如果用90除以3会得到怎样的旋转?“30度的旋转”,你可能会回答。为了实现90度的旋转,要做3次30度旋转:但是假设从旋转9度开始。要旋转多少次才能旋转90度?你可能会说,10次,因为G(90) = (I + 90/10)(I + 90/10)…但是假设从101/1000度旋转开始,要旋转多少次才能得到90度的旋转?要点是,G(90) = (I + 90/n)乘以自身n次,因为(90/n) x n = 90。但没有什么能阻止n越来越大。当n→∞时会怎样?90/n变得无限小,所以我们需要把它乘以同样的东西无限次!也就是:你们可能觉得这个公式很眼熟。它是:其中e是欧拉数。我们可以说,起始点I围绕角d旋转的任意度数都是G(d) = e^d。我们找到了一种解释e^d的新方法。如果我们想只允许有“特定的”旋转(离散对称),那么就需要将其调整为G(d)=e^dX,其中X是一组特定的数字。我们说X是G(d)的生成函数。旋转下的圆的集合实际上形成了一个群,称为对称群,G(d)只是这个群中的一个元素。一个元素可以写成e^dX的群叫作李群。李代数就是X的集合生成G群。还有很多东西要讲。我们甚至还没有讨论物理上的应用。不过不要担心,我将为这篇文章写一篇后续文章,讨论这个看似抽象的数学在更具体的事情上的应用。