被许多人认为是“自古以来最伟大的数学家”的德国数学家、天文学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯曾经说过：
研究欧拉的著作将仍然是不同数学领域的最佳流派，没有任何东西可以取代它——卡尔·弗里德里希·高斯
图1：卡尔·弗里德里希·高斯的肖像，被称为“自古以来最伟大的数学家”
本文将描述瑞士数学家莱昂哈德·欧拉如何解决著名的巴塞尔问题。欧拉是历史上最伟大的数学家之一。他还是一个多产的数学家。
图2：欧拉
巴塞尔问题
1650年，意大利数学家皮埃特罗蒙格利首次提出了巴塞尔问题。1734年，欧拉解决了这个问题。这个问题是要求出自然数平方的倒数之和：
式1：巴塞尔问题
许多有影响力的数学家试图找到自然数平方倒数之和的公式。微积分的两位共同发明人约翰·沃利斯和戈特弗里德·莱布尼茨都曾尝试过，但都以失败告终。欧拉在他还年轻的时候（28岁）就解决了这个问题，他的答案让数学界感到惊讶。他的第一个证明（后来他又提供了其他几个证明）绝不是严谨的，但它的美丽、简单和独创性是惊人的。
图3：欧拉的故乡
欧拉首先写下了sinc（πx）函数：
式2
图4：归一化和非归一化sinc(x)函数（分别用蓝色和红色表示）
为了理解这一点，考虑下面的四次多项式写成因式分解形式：
式3
将表达式展开得到：
式4
欧拉的策略是将同样的扩展应用到超越函数上。这类函数不满足多项式方程，如式4。指数函数、三角函数和对数函数是三个著名的例子。
图5：指数函数、对数函数和三角函数的函数图。
sinc（πx）函数具有以下的根：
式5
欧拉继续将sinc(x)写成与式3中的f(x)相同的形式。使用基本的数学恒等式：
由于式5中的每个根都有一个对应的负根，所以他可以这样写：
式6
下一步是把式6中的项乘起来，但只关注平方项：
公式7
泰勒级数
泰勒级数是函数的无穷项和
图6：增加泰勒级数的次数，它将收敛到正确的函数。
图6所示的七泰勒级数有如下代数形式：
式8：与函数sin(x)对应的几个泰勒多项式。
这些函数的曲线如图6所示。sinc(x)函数的泰勒展开式为：
式9：sinc（πx）的泰勒级数。
我们可以把式8看作是一个无限次的“伪多项式”。这种伪多项式有无穷个根。
比较两个结果
比较式7和式9，我们得到了我们想要的结果：
式10：巴塞尔问题的欧拉解。
另外，欧拉的推导为我们提供了著名的沃利斯问题。把x = 1/2代入式6，求它的倒数，我们得到：
式10
一个严格的证明
最后，我们将看到如何获得欧拉结果的严格证明。考虑到：
式11：在证明巴塞尔问题时引入的辅助函数。
然后定义E(n)并计算它，对公式11第二个等式后的表达式积分：
式12：数字E(n)的定义。
很明显，对于偶数k，右边的和是0。因此，可以用(2k-1)代替k，只考虑E的下标为奇数的项：
式13：仅当E的下标为奇数值时，才有式12。
现在，为了完成证明，我们需要证明这个表达式可以消去。由于这个演示非常费力，而且没有什么启发性，所以我们将省略它。其结果是：
式14：证明成立的必要条件
式15：用简单的代数运算得到最终结果。
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