在物理学中，大小上有显著差异的事件（例如，海洋中的波浪及其个别水分子的行为）彼此之间的影响很小。因此，我们可以独立地研究每个数量级对应的物理性质。这种尺度独立性正是我们利用流体力学来模拟海浪的原因，而忽略了单个水分子的行为。换句话说，理论之所以成功，是因为不同尺度下的物理可以用不同的理论框架来建模。
图1：海浪和水分子的行为可以用不同的物理模型来解释。这种尺度独立性赋予了物理理论解释力。
然而，存在一种称为临界现象的现象，即不同规模的事件具有相同的重要性。威尔逊给出的例子是液-气临界点。
图2：纯物质的压力-温度相图（维基百科）。在水的临界点为647.096 K和217.75 atm。
在接近气液临界点时，两相的物理性质变得越来越相似。在临界点，它们变成单一的、无差异的液相。液体“在所有可能的尺度上”都表现出密度波动。引用威尔逊：
这些波动是以液滴的形式出现的，液滴和气泡完全分散在一起，从单个分子到标本体积，有各种大小的液滴和气泡。正是在临界点处，最大波动的尺度变成无穷大，但较小的波动却丝毫没有减弱。任何描述接近临界点的水的理论都必须考虑整个频谱。——肯尼斯·威尔逊(1979)
铁磁体是一种产生磁畴的磁性材料。在这些磁畴中，单个原子的磁场会对齐。然而，每个磁畴的磁场方向是随机的。因此，净磁场是零。但是当有外加磁场作用时，所有磁畴的磁场都与外加磁场方向一致，导致外加磁场增强。
所谓磁畴，是指铁磁体材料在自发磁化的过程中为降低静磁能而产生分化的方向各异的小型磁化区域，每个区域内部包含大量原子，这些原子的磁矩都像一个个小磁铁那样整齐排列，但相邻的不同区域之间原子磁矩排列的方向不同。
图3：无外场（左），有外场B（中）（维基百科）。
另一种使铁磁体表现出外部宏观磁场的方法是降低其温度。在某个临界温度以下，转动不变性会自发地被打破，甚至在没有外加磁场的情况下，也会出现一个宏观磁场。
这里，磁化强度M等于一个远大于相关微观物理过程发生的典型尺度的磁畴内所有原子的平均磁矩：
式1：一个区域内的平均磁矩比对应的微观物理的典型尺度大得多。
当温度升高到这个临界温度以上时，宏观磁化消失。这种转变实际上是极其剧烈的。当|M|接近0时，函数|M(T)|的斜率为无穷大。
图4
铁磁性是电子自旋与库仑斥力交换相互作用的结果。
让我先澄清两个概念。首先，自旋是什么意思？广义地说，自旋是基本粒子、复合粒子和原子核所携带角动量的内在形式。虽然自旋的定义是一个量子力学的物体（经典物理学中没有自旋的概念），但人们经常把自旋的粒子描述为围绕自己的轴旋转的小陀螺。
图5：旋转电子的错误但形象的描述
第二，什么是交换相互作用？它们是发生在相同粒子（如电子）之间的量子力学效应。当两个粒子交换时，相同粒子的波函数要么保持不变（对称），要么改变符号（反对称），这些效应是这样一个事实的结果。
图6：对称和反对称波函数
如在水蒸气临界点，在临界点涉及几个长度尺度。如下图所示，它描述了一些假设的固体。每个方块对应于固体中单个原子的自旋方向（更具体地说，对应于磁矩）。
我们选择：
黑色方块代表“向上”旋转
白色方块代表“向下”旋转
上图显示的是临界温度以上的固体。在那里，系统是无序的。在中间的图中，当温度降低时，开始出现更广泛的斑块。第三个图显示了系统在临界点（称为居里温度）。我们看到
图7：三种不同温度下固体中磁动量的模式
关键现象之所以特别吸引人，主要有三个原因：
物理学家还没有完全理解潜在的微观现象
不同的物理系统在接近临界点时表现出非常相似的行为。一个著名的例子是铁磁体和简单流体在接近临界点时的相似性。事实上，对于几组看似不同的系统，临界点指数的数值是相等的。
根据斯坦利的说法，第三个原因是敬畏。他说道:“我们想知道，当我们接近临界温度时，自旋'知道’怎么会突然对齐。自旋是如何在整个系统中如此广泛地传播它们的相关性的？
例如，为了研究铁磁体在某温度T时的热平衡性质，原则上我们应该写出它的配分函数。系统的配分函数Z描述了系统处于（热力学）平衡时的统计特性，它是用系统的哈密顿量H来表示的。系统的大部分热力学变量，包括总能和自由能、熵、压力、磁化等，都可以写成配分函数（或其导数）的形式。
配分函数为：
式2：配分函数有温度T和微观哈密顿量H。
H是微观哈密顿量。我们也可以把Z写成：
式3：用自由能G表示的配分函数。
G是吉布斯自由能。后者很重要，因为它有助于识别系统的平衡态。这是因为如果我们让系统保持恒定的温度和压强，当系统处于平衡状态时，吉布斯势最小。
对于非零温度，Z似乎是T的平滑函数，除了临界温度下的非解析行为。
然而，在大多数复杂系统的情况下，Z不能计算，因此不能使用微观哈密顿量来分析。
这两个著名苏联物理学家列夫·郎道（ Lev Landau）和维塔利金兹堡（ Vitaly Ginzburg）认为，另一种用磁化强度来表示自由能G的方法是考虑G对M的对称性。磁化强度通常被称为序参数。
图8：列夫·郎道（ Lev Landau）和维塔利金兹堡（ Vitaly Ginzburg）
M在临界温度以下消失的数学形式在实验上已知为：
式4：M消失的数学形式。
图9：自发磁化与大小的关系。曲线是铁(x)，镍(o)，钴(A)和磁铁矿(+)
例如，如果M在x中是常数，旋转不变性将限制自由能G为：
式5：体积V的旋转不变系统的吉布斯自由能G，用磁化强度M表示。
前因子a，b是未知的，但我们假设它们是温度T的光滑、行为良好的函数（没有奇点或不连续）。假设，根据朗道和金兹堡的理论，a在某个临界温度下消失，很自然地，在接近这个温度时，
式6：前因子a的温度依赖性。
如何计算一个函数的最小值，如G(M)？考虑Tue的情况，M有两个维度：
式7：二维系统的吉布斯自由能G。
最小值发生在，例如：
式8：二维系统吉布斯自由能G的无穷小之一。
其中，第二个分量可以等于以下所示的势能的圆形基数上的任何值（M_2=0只是一个方便的选择）。
图10：著名的酒瓶底势能
在临界温度以上的温度，G的最小值出现在M=0，但对于低于临界温度的温度，有新的最小值（从上面推导）：
式9：临界温度以下的最小值。
我们看到旋转对称性自发地打破，出现了非解析性。这是二阶相变的一个例子，这是一种临界现象。
这个G太简单了，我们必须考虑M. Landau和Ginzburg提出的以下归纳：
式10：空间变化磁化的吉布斯自由能G。
我们可以重新缩放M使第一项的系数等于1。
在外磁场存在且高于临界温度时，G变成：
式11：在外磁场H存在下，空间磁化强度变化的吉布斯自由能G。
当H≠0时，非解析性消失，|M|成为温度的正则函数。
对于小M，最小化G得到以下微分方程：
式12：对小M极小化G得到的微分方程。
其中有以下解：
式13：式12的解。
对k积分得到：
对k积分后得到式13。
现在考虑磁场H在x=0处，它在原点产生磁化M(0)。当x≠0时，磁化强度M(x)是多少？
在这里，相关函数的概念很重要。相关函数测量系统中的顺序，不同位置的微观变量如何相互联系，以及它们如何平均（跨越空间和时间）相互变化。在我们的例子中是：
式15：相关函数。
对于大的|x|， C(x)或者说M(x)的行为是什么？换句话说，这些量是如何衰减的？
衰减公式如下：
式16：当T接近临界温度时，C(x)的衰减：
图11：相关长度随温度变化而发散的实验（临界温度设为1）
这表明当T接近临界温度时，相关函数衰减的ξ值有一个相关长度，且该长度发散（趋于无穷）。
使用Landau-Ginzburg理论进行计算，我们发现：
式17：相关长度和指数ν。
利用式14，我们发现指数ν的值是1/2。
诸如ν和β等临界指数定义了许多物理量（包括热容、磁化率等）在临界点处的奇点的性质。
但为什么关键指数如此重要？这些指数的组合给出了标度定律，这是一种普适性。实验发现，一些具有完全不同临界温度的系统具有相同的标度指数，而后者是临界指数的组合。
例如，使用我们在上面发现的临界指数，我们得到了所谓的费舍尔标度：
式18：费舍尔标度，通用指数之一。
图12为气液共存区域的另一个例子。
图12：不同物质在气液共存时温度T和临界温度与降低密度之比
指数之间的关系是所谓标度假设的两种表现形式之一。第二种被斯坦利称为“数据崩溃”。按照斯坦利的方法，考虑一个单轴铁磁体。磁化强度M取决于H和还原温度ϵ：
式19：M对H和还原温度的依赖关系。
例如，五种不同物质的这两个量之间的关系如下图所示：
在临界状态下发现的另一个有趣的性质是通用性。上面的图13是一个例子：由于五种材料具有相同的指数和标度函数，它们属于相同的普适类。
利用重正化群的概念可以得到一个更完整的临界现象理论。
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