高一预科-----1.32函数的基本性质--奇偶性

1.32函数的基本性质---奇偶性

画出函数y＝x²和y＝（x≠0）的图象，从对称的角度你发现了什么？

一．奇、偶函数的定义：

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意的一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数f(x)是偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意的一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数yf(x)是奇函数；既不能满足f(－x)＝f(x)也不能满足f(－x)＝－f(x)，则函数是非奇非偶函数。

总结：

1.

2

3.

二．判断函数奇偶性的步骤：  

1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

2 确定f(－x)与f(x)的关系；

3 作出相应结论：

若f(－x) =f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

 

三，函数的奇偶性与单调性的关系

规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；

奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．

例1.函数奇偶性的判断

1

              2.

       

 

 

3.

           4.

 

 

5.f（x）=（x-2）

；             6.

；

 

 

7.

；          8.

例2. 已知函数f(x)＝在区间[0，＋∞)上的图象如图2－2－4所示，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据．

      图2－2－4

例3. 设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图2－2－5所示，则不等式f(x)<0的解集是________．

     图2－2－5

例4 已知

是奇函数，且

。

（1）求实数

的值；

（2）判断函数

在

上的单调性，并加以证明。