高一预科----2.21对数及其运算

2.21对数及其运算

一．对数的定义：

一般地，对

于指数式a^b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log_aN，即

其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”．

实质上，上述对数表达式，不过是指数式N＝a^b的另一种表达形式．

由此得

到对数和指数幂之间的关系：

	a	N	b
指数式a^b＝N	底数	幂	指数
对数式logaN＝b	对数的底数	真数	对数

例如：4²＝16

2＝log₄16；              10²＝100

2＝log₁₀100；

＝2

＝log₄2；               10^－2＝0.01

－2＝log₁₀0.01.

①为什么在对数定义中规定a>0，且a≠1？

②根据对数定义求log_a1和log_aaa>0，且a≠1的值.

③负数与零有没有对数？

④a^logaN＝N与log_aa^b＝ba>0，且a≠1是否成立？

⑤什么是常用对数和自然对数？

讨论结果：

①这是因为若a＜0，则N为某些值时，b不存在，如log_(－2)；

若a＝0，N不为0时，b不存在，如log₀3，N为0时，b可为任意正数，是不唯一的，即log₀0有无数个值；

若a＝1，N不为1时，b不存在，如log₁2，N为1时，b可为任意数，是不唯一的，即log₁1有无数个值．综之，就规定了：a＞0，且a≠1.

②log_a1＝0，log_aa＝1.

因为对任意a＞0，且a≠1，都有a⁰＝1，所以log_a1＝0.

同样易知：log_aa＝1.即1的对数等于0，底的对数等于1.

③因为底数a＞0，且a≠1，由指数函数的性质可知，对任意的b∈R，a^b＞0恒成立，即只有正数才有对数，零和负数没有对数．

④因为a^b＝N，所以b＝log_aN，a^b＝a^logaN＝N，即a^logaN＝N.

因为a^b＝a^b，所以log_aa^b＝b.故两个式子都成立．(alog_aN＝N叫对数恒等式)

常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数．为了简便，N的常用对数log₁₀N简记作lgN.

自然对数：我们通常将以e为底数的对数称为自然对数，N的自然对数log_eN简记作lnN.

例如：log₁₀5简记作lg5；log₁₀3.5简记作lg3.5.

例如：log_e3简记作ln3；log_e10简记作ln10.

对数的性质

（1）对数基本性质（特点）：

（1）负数和零没有对数；

（2）1的对数是零：

；

（3）底数的对数是1：

；

（4）对数恒等式：

；

（5）

．

（2）对数的运算性质：

如果

则有

规律：对数的运算性质实质上就是把积、商、幂的对数运算转化为对数的加、减、乘的运算。

（3）对数换底公式：

 

（4）两个常用的推论:

①

， 

②

 

课堂练习

1求log₂2，            log₂1，            log₂16，          log₂.

2.求log₅25；           log32；           3log₃10；         log_2.52.5.

3．将下列指数式写成对数式：

(1)5⁴＝625；           (2)3^－3＝；        (3)8＝16；       (4)5^a＝15.

 

4．将下列对数式写成指数式．

(1)

16＝－4；      (2)log₃243＝5；      (3)

＝3；   (4)lg0.1＝－1.

5.计算（1）

              (2)log_2.56.25＋lg

＋ln

＋

       （3）

                （4）lg14－2lg

+lg7－lg18；

（5）

；

 （6）

.

(7)log₈9·log₂₇32的值                     (8)log₈9·log₉25log₂₅32的值

6.已知lgx = 2lga + 3lgb – 5lgc，求x.

7.已知a、b、c均为正数，3^a＝4^b＝6^c，求证：＋＝.