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问：

参考例题

题目：

如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直与圆O所在平面，G为△AOC的垂心．
(1)求证：平面OPG⊥平面PAC；
(2)若PA=AB=2AC=2，点Q在线段PA上，且PQ=2QA，求三棱锥P−QGC的体积．

考点：

旋转体（圆柱、圆锥、圆台），向量语言表述面面的垂直、平行关系

分析：

(1)由OG⊥AC，OG⊥PA即可得出OG⊥平面PAC，故而平面OPG⊥平面PAC；
(2)利用公式VP−QGC=VG−PQC=13S△PQC⋅GM计算体积．

解答：

(1)证明：∵G为△AOC的垂心，∴OG⊥AC，
∵PA⊥平面ABC，OG⊂平面ABC，
∴PA⊥OG．
又PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，
∴OG⊥平面PAC．
又OG⊂平面OPG，
∴平面OPG⊥平面PAC．
(2)延长OG交AC于点M．
由(1)知OM⊥平面PAC，
即GM为点G到平面PAC的距离．
由已知可得，OA=OC=AC=1，
∴△AOC为正三角形，
∴OM=3√2．GM=13OM=3√6．
∵PA=2，PQ=2QA，∴PQ=43．
∴S△PQC=12PQ⋅CA=12×43×1=23，
∴VP−QGC=VG−PQC=13S△PQC⋅GM=13×23×3√6=3√27．