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参考答案
悟道谈风水
>《中小学数学》
2019.12.02
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问:
参考例题
题目:
如图,点
C
在以
A
B
为直径的圆
O
上,
P
A
垂直与圆
O
所在平面,
G
为
△
A
O
C
的垂心.
(1)求证:平面
O
P
G
⊥
平面
P
A
C
;
(2)若
P
A
=
A
B
=
2
A
C
=
2
,点
Q
在线段
P
A
上,且
P
Q
=
2
Q
A
,求三棱锥
P
−
Q
G
C
的体积.
考点:
旋转体(圆柱、圆锥、圆台),向量语言表述面面的垂直、平行关系
分析:
(1)由
O
G
⊥
A
C
,
O
G
⊥
P
A
即可得出
O
G
⊥
平面
P
A
C
,故而平面
O
P
G
⊥
平面
P
A
C
;
(2)利用公式
V
P
−
Q
G
C
=
V
G
−
P
Q
C
=
1
3
S
△
P
Q
C
⋅
G
M
计算体积.
解答:
(1)证明:
∵
G
为
△
A
O
C
的垂心,
∴
O
G
⊥
A
C
,
∵
P
A
⊥
平面
A
B
C
,
O
G
⊂
平面
A
B
C
,
∴
P
A
⊥
O
G
.
又
P
A
⊂
平面
P
A
C
,
A
C
⊂
平面
P
A
C
,
P
A
∩
A
C
=
A
,
∴
O
G
⊥
平面
P
A
C
.
又
O
G
⊂
平面
O
P
G
,
∴
平面
O
P
G
⊥
平面
P
A
C
.
(2)延长
O
G
交
A
C
于点
M
.
由(1)知
O
M
⊥
平面
P
A
C
,
即
G
M
为点
G
到平面
P
A
C
的距离.
由已知可得,
O
A
=
O
C
=
A
C
=
1
,
∴
△
A
O
C
为正三角形,
∴
O
M
=
3
√
2
.
G
M
=
1
3
O
M
=
3
√
6
.
∵
P
A
=
2
,
P
Q
=
2
Q
A
,
∴
P
Q
=
4
3
.
∴
S
△
P
Q
C
=
1
2
P
Q
⋅
C
A
=
1
2
×
4
3
×
1
=
2
3
,
∴
V
P
−
Q
G
C
=
V
G
−
P
Q
C
=
1
3
S
△
P
Q
C
⋅
G
M
=
1
3
×
2
3
×
3
√
6
=
3
√
27
.
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