抛物线焦半径的倒数和

[引言]过抛物线焦点的弦称为焦点弦，焦点与抛物线上点之间的距离称为焦半径。类似椭圆的焦点弦，抛物线的焦点弦也是近几年高考数学圆锥曲线板块的热门考点。

[问题]已知抛物线

直线AB过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。求证AF与BF的倒数和为定值。

[证明]设A(x1,y1)、B(x2,y2)，直线AB与x轴的夹角为α。

则根据抛物线的定义，AF、BF分别等于它们到准线CD的距离，即

又根据三角函数可知

而点A、B又在抛物线上，满足抛物线的方程，即

将它们联立可得，

由于方程x1、y1和x2、y2可以互换，其实只需求解下述方程即可

消去y，可得

于是，可以求得

从而，有

即

则焦半径的倒数和为,

为定值。

[后记]从上述推导，还可以得出AB的长度，

当α=π/2时，AB的值为2p，即抛物线通径的长度。