运用勾股定理构图求代数式的最小值

勾股定理是几何学中一颗璀璨的明珠，被称为“几何学的基石”，它的应用非常广泛，本篇我们一起来欣赏在代数式的求值中，勾股定理发挥的作用。我们将应用它的完美造型，通过构造图形，求一些代数式的最小值。

例题、如图，点C是线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x，

（1）用含x的代数式表示AC＋CE的长；

（2）请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小

 

分析：（1）图中有两个直角三角形，Rt△ABC，Rt△DCE，很显然AC，CE的长可以用勾股定理表示出来。

（2）由动图可知，当A、C、E三点在同一直线上时，AC＋CE取得最小值。这个最小值可以用勾股定理求出。

（3）观察（1）中AC＋CE的表达式，与（3）中代数式很相似，只要让BD＝12，AB＝3，DE＝2，CD＝x就转化成（2）求最小值。

解答：（1）在Rt△ABC，Rt△DCE中。

 

(2)当点A、C、E共线时，AC＋CE最小。如图：过E点作EF⊥AB于点F。

在Rt△AEF中，AF＝5＋1＝6，EF＝BD＝8，求得AE＝10，则AC＋CE的最小值为10。

（3）构造图形如下：BD＝12，点C是线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB＝3，DE＝2，设CD＝x，则当A，C，E在同一直线上时，AC＋CE最小，最小值为13。

再思考：

下面这些代数式，你能求出它们的最小值吗？

（适用年级：初二数学勾股定理与实数章节）