高中数学知识点复习资料归纳整理：数列求和与综合应用

数列求和与综合应用

【考纲要求】

1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式；

2. 掌握数列的通项an与前n项和Sn之间的关系式

3．注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和，熟练掌握求数列的前

项和的几种常用方法；

4.能解决简单的实际问题.

【知识网络】

【考点梳理】

纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.

与计算有关的问题主要有：求数列的某项，确定数列的通项公式，求有穷数列或无穷数列之和，计算数列的极限，将数列与方程，与不等式，与某些几何问题等联系起来，从而解决有关问题.

有关定性问题的论证问题主要有：考察或论证数列的单调性，将数列分类定性，考察数列的图像特征，考察数列的极限存在与否等等.

有关实际应用问题：某些与非零自然数有关的实际应用题，可用数列的各项与之对应，然后利用数列有关知识解答此类应用题.

数列的函数属性：因数列是函数的特例，故解答有关问题时，常与函数知识联系起来考虑.

【典型例题】

类型一：数列与函数的综合应用

例1.对于数列

，规定数列

为数列

的一阶差分数列，其中

；一般地，规定

为

的k阶差分数列，其中

且k∈N*，k≥2。

（1）已知数列

的通项公式

。试证明

是等差数列；

（2）若数列

的首项a1=―13，且满足

，求数列

及

的通项公式；

（3）在（2）的条件下，判断

是否存在最小值；若存在，求出其最小值，若不存在，说明理由。

解析：（1）依题意：

，

∴

∴

，

∴数列

是首项为1，公差为5的等差数列。

（2）

，

（3）令

，

则当

时，函数

单调递减；

当

时，函数

单调递增；

又因

，

而

，

所以当n=2时，数列an存在最小值，其最小值为－18。

举一反三：

【变式1】已知数列

的首项

，

，

．

（Ⅰ）求

的通项公式；

（Ⅱ）证明：对任意的

，

，

；

（Ⅲ）证明：

．

解析：（Ⅰ）

，

，

，

又

，

是以

为首项，

为公比的等比数列．

，

．

（Ⅱ）设

，

则

，

当

时，

；当

时，

，

当

时，

取得最大值

．

原不等式成立．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的

，有

．

令

，则

，

．

原不等式成立．

【高清课堂：函数的极值和最值388566 典型例题三】

【变式2】已知数列

和

满足：

，

，

其中

为实数，n为正整数.

（Ⅰ）对任意实数

，证明数列

不是等比数列；

（Ⅱ）试判断数列

是否为等比数列，并证明你的结论；

解析：（Ⅰ）假设存在实数

，使得数列

是等比数列，则

，

，

必然满足

由

得

，显然矛盾，

即不存在实数

使得数列

是等比数列。

（Ⅱ）根据等比数列的定义：

即

又

所以当

时，数列

不是等比数列；当

时，数列

是等比数列.

类型二：数列与不等式

例2.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明:

.

解析：

（1）当q=1时，Sn=na1，从而

，

（2）当q≠1时，

， 从而

    

    由（1）（2）得:

.

    ∵ 函数

为单调递减函数.

∴

∴ 

.

举一反三：

【变式1】数列｛xn｝满足：x1＝0，xn＋1＝－xn2＋xn＋c(n∈N*)

 （I）证明：数列｛xn｝是单调递减数列的充分必要条件是

（II）求

的取值范围，使数列｛xn｝是单调递增数列。

解析：（I）必要条件

当c＜0时，xn＋1＝－xn2＋xn＋c＜xn

数列｛xn｝是单调递减数列充分条件

数列｛xn｝是单调递减数列

x1＞x2＝－x12＋x1＋c

c＜x12＝0

得：数列｛xn｝是单调递减数列的充分必要条件是c＜0

（II）(i)假设｛xn｝是递增数列，由x1＝0，得x2＝c，x3＝－c2＋2c。

由x1＜x2＜x3，得0＜c＜1.

由xn＜xn＋1＝－xn2－xn＋c知，对任意n≥1都有

　①

注意到

　②

由①式和②式可得

即

由②式和xn≥0还可得，对任意n≥1都有

.③

反复运用③式，得

.

和

两式相加，知

对任意n≥1成立.

根据指数函数

的性质，得

，故

.

（ii）若

，要证数列{xn}为递增数列，即xn＋1－xn＝－xn2＋c＞0.

即证

对任意n≥1成立。

下面用数学归纳法证明当

时，

对任意n≥1成立.

（1）当n＝1时，x1＝0＜

，结论成立.

（2）假设当n＝k(k∈N*)时结论成立，即：

，因为函数f(x)＝－x2＋x＋c在区间

内单调递增，所以xk＋1＝f(xk)＜

，这就是说当n＝k＋1时，结论也成立.

故

对任意n≥1成立.

因此，xn＋1＝xn－xn2＋c＞xn，即{xn}是递增数列.

由(i)(ii)知，使得数列{xn}单调递增的c的范围是

.

【变式2】设数列

的前

项和为

．已知

，

，

．

（Ⅰ）设

，求数列

的通项公式；

（Ⅱ）若

，

，求

的取值范围．

解析：（Ⅰ）依题意，

，即

，

由此得

．

因此，所求通项公式为

，

．①

（Ⅱ）由①知

，

，

于是，当

时，

，

，

当

时，

．

又

．

综上，所求的

的取值范围是

．

类型三：实际应用问题

例3.某地区现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加

，人均粮食占有量比现在提高

，如果人口年增长率为

，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=

，人均粮食占有量=

）

解析：方法一：由题意，设现在总人口为

人，人均粮食占有量为

吨，现在耕地共有

公顷，于是现在的粮食单产量

吨/公顷，10年后总人口为

，人均粮食占有量

吨，若设平均每年允许减少

公顷，则10年耕地共有(

)公顷，于是10年后粮食单产量为

吨/公顷.

由粮食单产10年后比现在增加

得不等式：

化简可得

即

，

∴

(公顷)

答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.

方法二：由题意，设现在总人口为

人，粮食单产为

吨/公顷，现在共有耕地

公顷，于是现在人均粮食占有量

吨/人，10年后总人口为

，粮食单产

吨/公顷，若设平均每年允许减少

公顷，则10年后耕地将有(

)公顷，于是10年后粮食总产量为

，人均粮食占有量为

，由人

举一反三：

【变式1】根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的

个月内累积的需求量

（万件）近似地满足

.按比例预测，在本年度内，需求量超过

万件的月份是（    ）

A．5月、6月        B．6月、7月      C．7月、8月        D．9月、10月

【答案】C；

解析：第

个月份的需求量超过

万件，则

解不等式，得

，即

.

【变式2】某地区原有森林木材存量为

，且每年增长率为

，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为

，设

为

年后该地区森林木材存量.

（1）写出

的表达式.

（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于

,如果

，那么今后该地区会发生水土流失吗？若会，要经过几年？（取

）.

解析：（1）依题意，第一年森林木材存量为

，

1年后该地区森林木材存量为：

，

2年后该地区森林木材存量为：

，

3年后该地区森林木材存量为：

，

4年后该地区森林木材存量为：

，

… …  

年后该地区森林木材存量为：

（2）若

时，依题意该地区今后会发水土流失，则森林木材存量必须小于

，

即 

，

解得

，即

，

∴

，

∴

.

答：经过8年该地区就开始水土流失.

【变式3】某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？（即年平均费用最少）

【答案】设汽车使用年限为

年，

为使用该汽车平均费用.

当且仅当

，即

（年）时等到号成立.

因此该汽车使用10年报废最合算.

【变式4】某市2010年底有住房面积1200万平方米，计划从2011年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.

（1）分别求2011年底和2012年底的住房面积；

（2）求2030年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）

【答案】

（1）2011年底的住房面积为1200(1+5%)－20=1240（万平方米），

2012年底的住房面积为1200(1+5%)2－20(1+5%)－20=1282（万平方米），

∴2011年底的住房面积为1240万平方米；

2012年底的住房面积为1282万平方米.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

（2）2011年底的住房面积为[1200(1+5%)－20]万平方米，

2012年底的住房面积为[1200(1+5%)2－20(1+5%)－20]万平方米，

2013年底的住房面积为[1200(1+5%)3－20(1+5%)2－20(1+5%)－20]万平方米，

…………

2030年底的住房面积为[1200(1+5%)20―20(1+5%)19―……―20(1+5%)―20] 万平方米

即1200(1+5%)20―20(1+5%)19―20(1+5%)18―……―20(1+5%)―20

≈2522.64（万平方米），

∴2030年底的住房面积约为2522.64万平方米.