抽象函数的解析表达式

[引言]抽象函数是高中数学函数一章的难点。其主要解题思路就是利用函数的性质，反复进行代换。

[题目]设有函数f：R→R，对任意实数x、y,都满足：

求函数f的所有表达形式。

[解析]将题设中的条件，记为P(x,y)。

[情况1]由P(2019,y)可得，

若f(2019)≠0，则当y取遍所有实数时，2019+yf(2019)也取遍所有实数。因此，由上式可知，f为常值函数。

若f(2019)=0，且f不是常值函数。由P(x,1)可得，

下面分情况进行讨论。

[情况2]当x=2019时，f(x)=0。此时有，

[情况3]存在x0≠2019，使得f(x)=0。由P(x0,y)可得，

设k=x0/2019≠1，则上式可变为，

又由P(kx,y)可得，

与P(x,y)比较有

设u、v是任意实数，有方程组，

解得

由于f不是常值函数，故存在实数a，使得f(a/k-1)≠0。

若a=0，则当x≠0时，均有f(x)=0，且f(0)≠0。

[情况4]若a≠0，则u-v=a时，有f(u)=f(v)。即函数f是以a为周期的周期函数，f(x+a)=f(x)。由P(x+a,y)可得，

与P(x,y)比较有

对任意的m、n∈R，m≠n，令

可得

从而有

这表明f是常值函数，与假定矛盾。因此这种情况不成立。

[结论]综上，满足条件的函数有以下三类：

[后记]本题选自2019年罗马尼亚大师赛第5题。解答来自数学新星网，由华师大的金及凯老师提供。大师赛网站上也给出了一份解答，不太适合国内的学情，故没有选择。

本题进行适当修改是可以做为高考选填的压轴题的。例如给出抽象函数的条件，问下列哪个函数的解析式不满足条件，或者给出四个选项，要求学生写出符合条件的选项号码等。干扰项也是现成的，例如将周期函数加入即可。