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问：

参考例题

题目：

已知真命题：“函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f(x+a)−b 是奇函数”。

(1)将函数g(x)=x3−3x2的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图象对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数g(x)图象对称中心的坐标；

(2)求函数h(x)=log22x4−x 图象对称中心的坐标；

(3)已知命题：“函数 y=f(x)的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数y=f(x+a)−b 是偶函数”。判断该命题的真假。如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).

考点：

[命题的真假判断与应用, 函数单调性的判断与证明, 函数奇偶性的判断, 对数函数的单调性与特殊点]

分析：

（1）先写出平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）³-3（x+1）²+2，整理得y=x³-3x，由于函数y=x³-3x是奇函数，利用题设真命题知，函数g（x）图象对称中心．
（2）设h（x）=log2

2x

4-x

 的对称中心为P（a，b），由题设知函数h（x+a）-b是奇函数，从而求出a，b的值，即可得出图象对称中心的坐标．
（3）此命题是假命题．举反例说明：函数f（x）=x的图象关于直线y=-x成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）-b，即y=x+a-b总不是偶函数．修改后的真命题：“函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f（x+a）是偶函数”．

解答：

(1)平移后图象对应的函数解析式为y=(x+1)3−3(x+1)2+2,整理得y=x3−3x，

由于函数y=x3−3x是奇函数,由题设真命题知,函数g(x)图象对称中心的坐标是(1,−2).

(2)设h(x)=log22x4−x 的对称中心为P(a,b)，

由题设知函数h(x+a)−b是奇函数。

设f(x)=h(x+a)−b,则f(x)=log22(x+a)4−(x+a)−b，

即f(x)=log22x+2a4−x−a−b.

由不等式2x+2a4−x−a>0的解集关于原点对称,则−a+(4−a)=0，得a=2.

此时f(x)=log22(x+2)4−(x+2)−b,x∈(−2,2).

任取x∈(−2,2),由f(−x)+f(x)=0，得b=1，

所以函数h(x)=log22x4−x 图象对称中心的坐标是(2,1).

(3)此命题是假命题。

举反例说明：函数f(x)=x的图象关于直线y=−x成轴对称图象，

但是对任意实数a和b,函数y=f(x+a)−b，即y=x+a−b总不是偶函数。

修改后的真命题：“函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f(x+a)是偶函数”。