面积计算（十四）

接下来我们开始讲面积计算中的割补法。

需要注意的是，割补法只是方法，这是一种形式上的操作。当然我们需要模仿形式，任何知识的学习一定是从模仿开始的，但是更高层次的还是要理解其本质。

作为指导者来说，必须要明白这点，割补法的实质在于等积变换，所以在教学过程中必须以这个作为指导思想，换句话说，就是要把阴影部分图形或者其中的一部分用面积相等的图形来变换，而且变完了以后面积要容易求出来。

那么最常见的等积变换是什么呢？

同底等高的三角形是最常见的。

那么同底等高最常见的例子又是什么呢？

平行线夹着的若干个三角形。

所以我们可以看出梯形的重要性了。问题来了，为什么是梯形？

因为梯形中有眼镜啊！之前我们已经讲过，梯形中的眼镜是等积变换最重要的基本图形，因此，利用已有的梯形或者隐藏的梯形就成了我们常用的手段。

我们先来看一个简单的例子。

如图：两个正方形边长分别为10和8，求△ACD的面积。

怎么办？

如果我们直接求三角形面积，那么就要知道底和高，但是△ACD三条边的数值都已经超过了小学生掌握的范围，所以此路不通。

既然直接的路子走不通，那么只能走间接路线，而间接路线中最容易想到的就是大减小。这时候我们注意到，相对阴影部分的面积，这些空白图形的面积是非常容易计算的，但是！这个五边形ABCDE的总面积该如何计算呢？

没有现成公式。

但是和前面的思路相比，起码我们有很多容易计算的地方出现了，比起一个都动不了的最初的思路，已经不知道高到哪里去了，所以还是有努力一下的必要的。我们发现问题出在右上角，但是如果给拼上一个直角三角形，那么五边形就能变成一个矩形，这个矩形的面积是非常容易算的，于是现在的问题就变成这个拼上去的小直角三角形的面积了，不难发现，这个小直角三角形较短的直角边恰好是两个正方形边长之差，长边是小正方向的边长，所有的要素都具备了，我们可以得到阴影部分的面积等于：

(8+10)×10-1/2 ×10×10-1/2 ×18×8-1/2 ×2×8=50。

这是补的办法。

很自然的问题是有没有更好的办法？

对于学有余力的孩子来说，一定要做这步，因为这是你提高的必由之路。上面的常规做法可以作为我们以后保底的思路，没有办法的办法，除了繁一点以外没有任何的缺点，如果我们能够掌握那种灵巧的办法，可以连这个缺点都克服，岂不美哉？

顺着我们开始提到的等积变换，我们应该找这个图里找梯形。现成的梯形有么？

并没有。

是的，在所有的连线里，一个现成的梯形都没有，所以我们要加辅助线，加的方向是找一个梯形，并且梯形包含△ACD。

在这个思路的指引下，我们发现把DF连起来是个很不错的选择，这时候可以得到梯形DFAC，而△ACD和△ACF是等积的，而△ACF的面积恰好是大正方形的一半，即50，于是题目做完了。

事实上，本题算是个超级有良心的题，因为正方形是给出的边长，如果把题目改成已知两个正方形的面积分别是30和20，这时候对小学生来说用第一种方法就存在着巨大的困难：因为没有办法求出正方形的边长，从而求这些直角三角形的面积也变得非常困难，只有方法2才能奏效了。

换句话说，如果题设给出了正方形或者圆的面积，但是求边长或者半径很困难的话，那么就应该直接考虑等积变换。

作为家长来说，首先要能总结出割补法的实质是等积变换；等级变换主要技巧是找梯形；而找梯形是利用梯形的眼镜。

这就是所谓做一个题有一个题的效果，下一节中我们将多看几个例子让大家更好地理解一下。

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