黄老师聊数学（332）联想法解一个和约数有关的题

下面有个题，是一个竞赛题，先聊一些关于题目中出现的“约数”的话题。

我小时候，现在小学生所学的“因数”，叫做约数。最大公因数叫做最大公约数。因数，我个人觉得像ab=12这样的式子，a，b就叫做12的因数，a，b也可以是小数，比如a=2.4, b=5，都叫做12的因数。但是现在因数只能是整数了。不知道为什么要这样改名。是不是要和“因式”这个词对应？

顺便提下，我小时候自然数是不包括0的，现在包括。说明，知识也是随着时代在变迁，各种定义，各种侧重点都可能变化。

下面看这道题，真的有点难，所有的正约数...好像无从入手的样子。

这时候，我有了一个联想，下面是高一学生应该会碰到的一个题：

还记得吗，计算方法就是利用头尾相加为定值，其实就是一种函数形式的对称性，如下图：f(x)+f(1/x)=定值。

回到原题，也是一些式子相加，只是题目难了些，是约数。所以联想到前面那个方法，目标很明确，就是要头尾相加为定值！

当然解题充满技巧。要质因数分解，要有排列组合的思想，要有一定的计算能力，如分式通分...

最终得到答案...