等差数列、等比数列性质的灵活运用

高考要求  

等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n项和公式的引申  应用等差、等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视  高考中也一直重点考查这部分内容  

重难点归纳 

1  等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用  

2  在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形  

3  “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果  

典型题例示范讲解 

例1已知函数f(x)= (x<－2)  (1)求f(x)的反函数f^-－1(x);

(2)设a₁=1, =－f^－-1(a_n)(n∈N^*),求a_n;

(3)设S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²,b_n=S_n+1－S_n是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N^*,有b_n<成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由  

命题意图  本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，考查学生的逻辑分析能力  

知识依托  本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题  

错解分析  本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{}为桥梁求a_n,不易突破  

技巧与方法  (2)问由式子得=4,构造等差数列{},从而求得a_n,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想  

解  (1)设y=,∵x<－2,∴x=－,即y=f^－-1(x)=－ (x>0)

(2)∵，∴{}是公差为4的等差数列，

∵a₁=1, =+4(n－1)=4n－3,∵a_n>0,∴a_n=  

(3)b_n=S_n+1－S_n=a_n+1²=,由b_n<,得m>,

设g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N^*上是减函数，∴g(n)的最大值是g(1)=5,

∴m>5,存在最小正整数m=6,使对任意n∈N^*有b_n<成立  

例2设等比数列{a_n}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lga_n}的前多少项和最大？(lg2=0  3,lg3=0  4)

命题意图  本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力  

知识依托  本题须利用等比数列通项公式、前n项和公式合理转化条件，求出a_n;进而利用对数的运算性质明确数列{lga_n}为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解  

错解分析  题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方  

技巧与方法  突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S_n是n的二次函数，也可由函数解析式求最值  

解法一  设公比为q,项数为2m,m∈N^*,依题意有

化简得  

设数列{lga_n}前n项和为S_n,则S_n=lga₁+lga₁q²+…+lga₁q^n－1=lga₁ⁿ·q^{1+2+…+(n－1)}

=nlga₁+n(n－1)·lgq=n(2lg2+lg3)－n(n－1)lg3=(－)·n²+(2lg2+lg3)·n

可见，当n=时，S_n最大  而=5,故{lga_n}的前5项和最大  

解法二  接前，,于是lga_n=lg［108()^n－1］=lg108+(n－1)lg,

∴数列{lga_n}是以lg108为首项，以lg为公差的等差数列，

令lga_n≥0,得2lg2－(n－4)lg3≥0,∴n≤=5  5  

由于n∈N^*,可见数列{lga_n}的前5项和最大  

例3　等差数列{a_n}的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_________  

解法一由等差数列{a_n}的前n项和公式知，S_n是关于n的二次函数，即S_n=An²+Bn(A、B是常数）将S_m=30,S_2m=100代入，得

,∴S_3m=A·(3m)²+B·3m=210

解法二根据等差数列性质知  S_m,S_2m－S_m,S_3m－S_2m也成等差数列，

从而有  2(S_2m－S_m)=S_m+(S_3m－S_2m)∴S_3m=3(S_2m－S_m)=210

解法三  令m=1得S₁=30，S₂=100，得a₁=30,a₁+a₂=100,∴a₁=30,a₂=70∴a₃=70+(70－30)=110∴S₃=a₁+a₂+a₃=210