【九年级专练】直角三角形的边角关系——三角函数的应用

知识链接

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方向角

方向角是以观察点为中心（方向角的顶点），以正北或正南方向为始边，旋转到观察目标的方向线所成的锐角，方向角也称象限角。

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仰角、俯角

仰角：水平面与向上的视线所形成的角称为仰角；

俯角：水平面与向下的视线所形成的角称为俯角.

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利用三角函数解决实际问题

利用三角函数解决实际问题的步骤：

1.审题：弄清题中的名词、术语（仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等）的意义，根据题意画出示意图；

2.转化：将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题；

3.计算：构造和利用直角三角形，选择合适的三角函数建立恰当的边角关系进行计算；

4.作答：按照题目要求的精确度确定答案。

利用解直角三角形解决实际问题的常见图形及关系式：

典例解析

题型一

【分析】过点A作AC⊥BE，则BC可由AC及仰角的正切值求得，再加上AD的长即为BE的长．

【解答】

题型二

【分析】首先根据题意可得GB=EF=CD=1.5米，DF=CE=8米，然后设AG=x米，GF=y米，则在Rt△AFG与Rt△ADG，利用正切函数，即可求得x与y的关系，解方程组即可求得答案．

【解答】

【注】此题有多种解法，同学们可以利用30°和60°的特殊关系解决问题。

题型三

如图,在建筑平台CD的顶部C处,测得大树AB的顶部A的仰角为45∘,测得大树AB的底部B的俯角为30∘,已知平台CD的高度为5m,则大树的高度为___m(结果保留根号)

【分析】作CE⊥AB于点E，则△BCE和△BCD都是直角三角形，即可求得CE，BE的长，然后在Rt△ACE中利用三角函数求得AE的长，进而求得AB的长，即为大树的高度．

【解答】

题型四

如图,一段河坝的横截面为梯形ABCD,试根据图中数据,求出坝底宽AD.(i=CE:ED,单位：m)

【分析】作BF⊥AD于点于F，在直角△ABF中利用勾股定理即可求得AF的长，在直角△CED中，利用坡比的定义即可求得ED的长度，进而即可求得AD的长．

【解答】

拓展提升

如图,某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗,经测量,得到大门的高度是5m,大门距主楼的距离是30m,在大门处测得主楼顶部的仰角是30∘，而当时测倾器离地面1.4m..

求：(1)学校主楼的高度(结果精确到0.01m)

     (2)大门顶部与主楼顶部的距离(结果精确到0.01m)

【分析】

（1）过E做EN平行于BC交DC于N，利用三角函数求出ED的长；

（2）过A做AM平行于BC交DC于M，求出DM=DC-AB=13.72m，利用勾股定理求出AD的长．

【解答】