怎样才算会做数学题呢？

做数学题可以说是数学学习的核心，学数学最直接、最显著的表现就是做数学题。那么怎样才算会做数学题呢？

（1）能否从题目的条件或结论中获得确切的信息；

（2）能否从记忆中提取与题目相关的信息；

（3）对从上述两个方面提取的信息能否有机地组合；

（4）能否条理化地整理并形成解题的行动序列；

（5）在实施解题序列过程中，推理与运算能否顺利完成。

下面通过具体例子展示对数学试题中信息的收集、加工、处理过程，仅供读者参考。

例1  设非零向量a,b,c，若

，则|p|的取值范围是（    ）

A. ［0，1］

B. ［0，2］

C. ［0，3］

D. ［－3，3］

分析  （I）信息的收集：①非零向量；②

是单位向量；③

。（II）信息的加工：①分母不为0；②向量

的起点移至原点，终点视为在单位圆上。

（III）信息的处理：①向量

方向相同时|p|最大为3；②向量

的终点均匀分布在单位圆上时|p|最小为0。故选C。

本题涉及的知识点有3个：单位向量，向量运算，模长范围确定；关键是能否看出

是单位向量，方法中隐含数形结合、动态分析。本题体现向量应用的灵活性，难度为中。事实上，若

。

例2  已知函数

，当

时，

＋

，则有（    ）

A. 

B. 

C. 

D. 

分析  （I）信息的收集：①

；②定义域为

；③

。

（II）信息的加工：①

是奇函数；②在（

）上

为单调增函数；③

。

（III）信息的处理：由（II）中的①、③可得

，同理可得

，

，从而得

，故选B。

本题涉及知识点有2个：复合函数的奇偶性，在区间上的单调性，关键是能否从函数的性质入手。本题体现函数性质的综合应用。实际上，由

为奇函数，在（

）上为单调增函数，若

，则

。其它的情况留给读者自己去变。

例3  三次函数f(x)的图像过原点，且与x轴相切于非原点的一点，若

时，f(x)有极值－1，则f(x)=_________。

分析  （I）信息的收集；①三次函数f(x)的图像过原点；②与x轴相切于非原点的一点；③当

时，f(x)有极值－1。

（II）信息的加工：①令

；②令切点A（

），（

），点A既在原函数图像上又在导函数图像上；③点B（－1，－1）在原函数图像上，点C（－1，0）在导函数图像上。

（III）信息的处理：①

，

，得

；②－1、

的两根，即

，得b=6a；③

，

，得

，从而得

。

本题涉及知识点有4个：函数与图像，导数，切点，极值点。关键是能否看出特殊的切点A（

）（

）既在原函数图像上又在导函数图像上，而极值点B（－1，－1）在原函数图像上，对应点C（－1，0）在导函数图像上，本题注重导数的综合应用。

例4  已知关于x的方程

的三个实根可分别作为一个椭圆、一个双曲线、一个抛物线的离心率。

（1）求

的取值范围；

（2）若椭圆C以坐标轴为对称轴，短轴长为4且有点P（a,b）在椭圆上，试求椭圆C的长轴长的取值范围。

分析  第（1）问

（I）信息的收集：①三次方程有三个实根；②其中一个实根可作为抛物线的离心率；③另二个实根可分别作为一个椭圆、一个双曲线的离心率。

（II）信息的加工：①三个实根为

；②

；③

＋

）

（III）信息的处理：①令

；②

，

；③令

，同时有g(0)>0，g(1)<0得a+b+1>0，2a+b+3<0，④即时信息，建立直角坐标系aob，用线性规划知识可得

。

第（2）问

（I）信息的收集：①以坐标轴为对称轴；②短轴长为4；③点P（a,b）在椭圆上；④长轴长的取值范围。

（II）信息的加工：①分两种情况

；②由a+b+1=0，2a+b+3=0得A（－2，1）；③椭圆C与P（a,b）表示的区域有公共点，点A（－2，1）在椭圆内部。

（III）信息的处理：①点A（－2，1）在椭圆内部，

，得m>

；②

。

本题涉及的知识点有4个：圆锥曲线的标准方程，离心率，根的分布，线性规划。关键是解题入口不能钻入求导误区。思想中隐含方程与函数，分类讨论。本题体现学科内综合，彰显知识迁移，凸显思想方法。

实际上，信息的收集就是人们常说的读题、审题；信息的加工就是根据收集到的信息个性化地转化为数字、图表、式子等；信息处理就是将加工后的诸信息通过某种方法具体地链接，前两者是挖掘试题的内涵与外延，后者是逻辑表述结果，综合起来就是解题过程。

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