三道同类不等式的解答与历史溯源（2008年吉林省预赛、《数学通报》2012年第2080号问题）

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上期留下的题目是：

一．题目1收到两位老师的解答：

1．深圳龙城高级中学廖威老师的解答如下：

         评注1：读者一定会产生疑问，廖老师为何一开始就换元？换元后，本题等价于：

         评注2：换元后特征之一就是条件和结论的系数之和都是3 5 7=6 5 4=15，都恰好可以拆分成15个正数，于是条件和结论都可使用15元均值不等式．而条件用15元均值不等式、约分后推得x^6y^5z^4≥1，此结果正好为结论的15元均值不等式所利用，从而成功求得最小值．

    评注3：题目1是2008年全国高中数学联赛吉林省预赛试题．

2．浙江宁波丁峰老师的解答如下：

     评注1：丁老师的加权幂平均不等式在幂的“权重”是有理数时，可以看作就是n元均值不等式写成了幂的形式，所以可以看成是n元均值不等式的非整数推广．

         评注2：丁老师用待定系数法的结果成功的揭示出了2008年全国高中数学联赛吉林省预赛试题的标准答案的神奇换元，这也部分和间接的回答了后文廖威老师在题目2解答完后提出的疑问．

3．题目1是2008年吉林省预赛试题，黑龙江侯典峰老师于2010年7月发表在某刊物上的一种解答如下：

二．现在解决题目2．

1．深圳龙城高级中学廖威老师的对题目2的解答如下：

     评注1：廖老师敏锐的观察出此题是题目1的翻版和变式，他说：

“事实上，题2为题1的一个变式，而题目1实为2008年全国高中数学联赛吉林省预赛试题．我对此题的印象颇深，就在于此题的解法（标准答案）作了一个巧妙的构造：

使问题迎刃而解．可我始终没有弄明白，这一巧妙的构造从何而来……，以下是我自己的解法（小编注：下面是廖老师的解法，即减元法）：”

        廖老师继续说，

    廖老师最后说：“相比标准答案，我的做法目标很清晰，但计算实在太繁琐……，期待小编的正解，或者是对标准答案中的构造的来历有个“拨云见日”的说明……”．

评注2：对于廖老师的疑问，小编在题目1中已经有一个简单的初步的说明了，在后文陆续还有说明，请读者注意．

 评注3：三元条件最值问题，思维量较小的一种方法自然是减元法了（思维量小的一个代价可能就是计算冗长），变成二元最值．

2．下面据说是网友“西西”（‍山西大学附中王永喜老师）对题目2的一种减元解答：

3．而对于文首题目2改编的如下题目，重庆邓丁瑞是如下解答的（条件只写了等号，分组组合、用了3个3元均值不等式）：

4．当然，利用大学知识拉格朗日方法找极值点的方法如下（昵称为“渣渣”的解答．这也太谦虚了吧，须知，过分的谦虚就是骄傲呀，哈哈）：

三．题目3的解答．

1．深圳龙城高级中学廖威老师如法炮制，继续用减元法对题目3解答如下：

注：丁峰老师指‍出题目3是《数学通报》第2080号问题（2012年8月号问题，题目提供人为黄兆麟老师）．

2．‍黄兆麟老师在2080号问题给出如下的解答：

3．福建厦门王淼生老师2013年第11期《追寻数学问题2080解答的本来面目》提到待定系数法，要解9元高次方程组，较费事，在文中王老师恳请2080号问题的提供者将构思、凑配、变形的关键过程展现出来：

4．湖北杨先义老师《也谈数学问题第2080题的解答》也提出了类似疑问，遗憾未找到原文。

5．题目提供者黄兆麟老师在数学通讯2015年第11期《2080号问题是这样编出来的》回复了上述两位老师提出的关于系数如何得出来的疑问：

在该文后，黄老师还用消元法和导数法解决了此问题，但似乎解释的还是不够完美（但明显黄老师也在尽力的解释了，是不是有一种东西叫“只可意会，不可言传”？不，应该是有一种东西叫“只可意会，不好言传”）。

6．此问题继续发酵，浙江张艳宗等三位老师联名发表在《中学数学》2015年10月的文章《关于数学问题2080题的探究》（通过拉格朗日方法获得取等号条件，或者研究条件的不定方程的特解来预先猜出取等号条件，再用均值不等式进行配凑，最后还得到了一般化的结论，应该说较完美的解决了该问题）：

7．浙江湖州高二学生朱文怡发表在数学通讯2016第5,6期《2080号题是这样“解”出来的》（使用了减元法，以学生的立场来看问题，对学生来说似乎下面方法容易想到）：

       至此，问题会是不是该告一段落了？不急，“解题君”还会告诉你很多该题的“历史故事”等着你阅读呢！

四．文首的3道题在网络上的一些研究和变式：

1．江西南昌宋庆老师在2015年8月于其2篇博文里记载了如下试题（冠名为‍“‍七年之痒”最小值问题，《见之跃跃忽技痒 -- 特级教师的特级解答》）：

        2009年10月，（老外）peine提出一个其貌不扬的不等式问题：  

2．本题得到了成都张云华老师于2015-08-12在其博客里的导数解答《张云华：解“七年之痒”最小值问题 》（注意到条件有b c和bc，待求式子也有b c，消掉a，将b c用均值不等式转化为关于bc的函数，再求导）：

3．四川西昌熊昌进老师于2015-08-12在博文《熊昌进 “七年之痒”最小值问题 》，也给出了导数解答（不同的是，熊老师转化为关于b c的函数，再求导数）：

4．宋庆老师在其博客里记载了一个解答（加权幂平均不等式）：

5．（1）广东骆方祥老师在其博客里给出了如下解答（加权幂平均不等式）：

（2）骆老师还于2015-08-13 09:41:17在博文《征解218  “七年之痒”最小值的类似》里提出如下征解题（这个最小值的数据要好看些，但仍有两个字母b、c是对称的，所以方法就简单些了）

（3）骆老师自己给出了征解题的解答（仍利用了b、c字母对称的特点，但没有采用导数，用了四元均值不等式）：

（4）宋庆老师对此题进行了如下改编（还得到了一些老师的对b c用均值不等式放缩后的导数解答，在此略去）：

           改编1（倒数代换，并注意系数）：

          改编2（乘积代换，证明略去）：

五．还有没有比以上的刊物发表的文章或者博客对文首的关联题目的讨论？回答显然的！

1．当年人气颇高的著名的人教论坛（由于qq群、博客的兴起等诸多原因此论坛似乎衰败下去了）记载了某个网友的如下提问（时间是2008年9月4号，正值2008年吉林省预赛试题举行完毕数月吧）：

2．下面是论坛版主hejoseph（何万成老师）给出的解答（不过，‍下面图片中14/2要改为14/5）：

       何万成老师还给出如下待定系数法的解释：

pa qb 7/(ab)≥3(7pq)^1/3，取等号条件pa=qb=7/(ab)；
ta rc 4/(ac)≥3(4rt)^1/3，取等号条件ta=rc=4/(ac)；
ub vc 2/(bc)≥3(2uv)^1/3，取等号条件ub=vc=2/(bc)；
解上述条件组成的关于p、q、r、t、u、v的方程组，得
p=7/(a²b)，q=7/(ab²)，r=4/(ac²)，

t=4/(a²c)，u=2/(b²c)，v=2/(bc²)，
另外加上p t=q u=r v的条件，

解关于b、c的方程组，得一组比较简单的解
b=5a/6，c=2a/3，
代入2a 4b 7c=2abc，得a=3，接着得到b=5/2，c=2，

代入p、q、r、t、u、v的表达式得

p=14/45，q=28/75，r=1/3，t=2/9，u=4/25，v=1/5。

3．过了半年多，有网友点评用柯西不等式解答，但未给出过程：

4．当时还是高中生的版主kuing做出如下回答：

5．既然此题已经溯源到2008年了，那么2008年是不是此类题最早时间出现的时间？答案仍然是NO！

（1）昵称为“陈茂启”的网友在2008年1月发出此贴（说明此题的出现在中学家园网站，应该在2007年或以前出现，但都早于2008年吉林预赛）：

下面是复制过来的文字版：

中学家园里的一道题：
a,b,c是正数,且21ab 2bc 8ca≤12,求1/a 2/b 3/c的最小值....
我用均值做。。。下面是我的做法。。。
方便写点，我就设1/a=1/x，2/b=1/y，3/c=1/z
有7xy 2yz 4xz≤2，求1/x 1/y 1/z的最小值。。。。
1/x 1/y 1/z=12*1/（12x） 10*1/（10y） 8*1/（8z）
≥30/(12^12*10^10*8^8*x^12*y^10*z^8)^(1/30)
=30/[(xy)^7*(2yz/3)^3*(4xz/5)^5*12^12*10^10*8^8*3^3*5^5/4^5/2^3]^(1/30)
≥{30/[12^12*10^10*8^8*3^3*5^5/4^5/2^3]^(1/30)}*[15/(7xy 2yz 4xz)]^(1/2)
≥15/2
至于怎么利用均值，我是靠感觉试来试去才配出那些系数的，换一个的话，可能又要费时间，有没系统的做法？？

（2）版主kuing对昵称为“陈茂启”的网友的解答用公式编辑器进行了整理：

（3）还是高中生的版主kuing给出了如下推广（注意发帖时间是2008年1月哟，只截取了部分）：

下面是kuing的完整版（这是“解题君”最早看到的加权幂平均的解法，亲爱的读者，你最早是何时看到的呢？）：

（4）网友fisherpy于2009年再次发出此题，kuing与何老师分别给出了上面解法的链接（这里略去）：

6．隔了几年后，又有人在于2011年在某群内发出此题，何老师给出如下回复（隐去一些qq号数字）：

爱好者-何万程(17***55) 2011-07-19 10:20:10
已知a、b、c是正数，2a 4b 7c≤2abc，求a b c的最小值。
有无相对简单的方法做？

14a/45 28b/75 7/(ab)≥14/5，当且仅当a=3，b=5/2时取得等号；

2a/9 c/3 4/(ac)≥2，当且仅当a=3，c=2时取得等号；

4b/25 c/5 2/(bc)≥6/5，当且仅当b=5/2，c=2时取得等号；

三式相加……

7．（1）某网友于2012年2月在“不等式贴吧”贴出了此题：

（2）此题一发出，立刻被江湖上人称“计神”的不等式大神ji_23（也是“不等式吧”的吧主）、某著名大学教授陈计老师的配方秒杀！（应该是“解题君”所见过的此题的最简洁的解答、也是最神奇和迷惑的解答！但局内人似乎有人不领情）

       由于时间久远或者网络原因，上面部分公式的图片不能得到显示，下面补充完整：

（3）在“计神”帖子发出后后面立刻引来了不少网友的膜拜和惊叹，如此神配方如何能得出？

由16[2(a b c)²(2a 4b 7c)-225abc]
=(20a 8b 5c)(4b-5c)² (16a 64b 11c)(3c-2a)² 20c(5a-6b)²≥0,

（4）现在把该贴吧的另一个小吧主q237039221给的两个解答也贴出来：

小吧主还给出了如下的拉格朗日方法：

拉格朗日乘数法
设f(a,b,c)=a b c k(2a 4b 7c-2abc)，
1 2k-2bck=1 4k-2ack=1 7k-2abk=0，

所以2-2bc=4-2ac=7-2ab=S，

有2/(2-S) 4/(4-S) 7/(7-S)=1，解得S=-8，

于是bc=5，ac=6，ab=15/2，

a=3，b=5/2，c=2，a b c=15/2．

8．（1）若干年后某不知名网友的手写解答：

（2）另一不知名网友的解答：

9．网友“ytxiehua2008”于2012年5月发出如下帖子，你知道他要干什么吗？

9．“解题君”也参与了这次讨论，于 2012-5-30 18:32:14 给出了下面的一组解（揭示了该网友也是在研究2008年的吉林预赛题）：

10．kuing随后回复说：

六．一道形似题（往后看，才能看到形似题）．

1．昵称为“hjfmhh”的网友在某论坛于2015年6月贴出一道不等式题：

由于数据可能有误，此题被kuing改为如下试题（可能你的想法是，此题应该不难吧，“解题君”怎么会抛出此题？）：

2．用分母换元后，“hjfmhh”发出疑问：

亲爱的读者，你能解释“hjfmhh”的上述疑问吗？

3．kuing提供的一种解答：

4．“解题君”的回复（成功的解决了“hjfmhh”不能取等号的问题，用“latex”代码写的解答）：

5．“hjfmhh”的回复：

并给出江苏刘双洲老师的解答（此题和文首3道题有些神似，这也是将之纳入本期话题的原因之一）：

6．kuing回复“解题君”的解答（在上面第4点），这系数咋配的？

然而，“解题君”在当时只回复一个笑脸，没有解释这系数是咋配的，现在都忘了当时是咋配的系数呢？聪明的读者，你能帮“解题君”回答系数是咋配的吗？

7．昵称为“转化与化归”的网友的柯西不等式和均值不等式的解答：

8．紧接着“解题君”给出了权方和不等式和均值不等式的解答（但本质是一样的）：

       至此为止，本期话题圆满结束（虽然搞成了大杂烩，但读者如果把它当做数学解题的“历史事件”，或者资料，还是不错吧？注意哟，本公众号的名称叫“数学解题之路”，主旨之一就是记载网友和数学爱好者们的解答，当然也少不了“解题君”的解答和点评）

       最后，还要感谢以上老师和不等式爱好者们的精彩解答！也感谢读者们的不离不弃（话说最近一个多月挺忙的，还看见关注本公众号的人在继续增多，但也有网友在抱怨“解题君”一个多月还迟迟不更新公众号，甚至以取关来“威胁”

，这是不是可以说明本公众号得到了他的喜欢？然而，免费的公众号，能做到这样已经不错了。因为编辑是很耗时间的，还要经过多次修改和校正，也难免其中的小错误，现在“解题君”非常理解那些数学杂志的编辑了！做了很多的苦差事，有时候还会被读者说，这编辑的水平不咋样）！

下期题目预告：‍

         请爱好者们做一做上面的题目，把你的解答写在word里（用公式编辑器），然后将word文件传给“解题君”的QQ号1933725911，建议离线传送。也可以把解答发到“解题君”的QQ邮箱[e-mail]，你的解答将在本公众号下期发表（署上你的名字、省份、学校等信息）．详情请手指点击“投稿指南与获奖规则(暂定)”查看．