考研数学（一）第三部分概率论与数理统计章节练习（下）

（江南博哥）

第四节 随机变量的数字特征

第五节 大数定律和中心极限定理

第六节 数理统计的基本概念

第七节 参数估计

第八节 假设检验

第四节 随机变量的数字特征

1 [单选题] 设随机变量X服从参数为2的指数分布，则Y=2X+e^-2x的期望EY=（）．

A.

B.

C.

D.

正确答案：A

参考解析：

所以

2 [单选题] 设随机变量x，有EX=μ，DX=σ²(μ，σ为常数)，则对任意常数C，下列选项正确的是（）．

A.E[(X-C)²]=E(X²)-C²

B.E[(X-C)²]=E[(X-μ)²]

C.E[(X-C)²]<E[(X-μ)²]

D.E[(X-C)²]≥E[(X-μ)²]

正确答案：D

参考解析：

因为 E[(X-C)²]=E[(X-μ+μ-C)²]=E[(X-μ)²]+(μ-C)²，其中(μ-C)²≥0，所以E[(X-C)²]≥E[(X-μ)²]，故D正确。B当且仅当μ=C时才成立。

3 [单选题] 设X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且ρ_XY=1，则（）．

A.P{Y=2X+1}=1

B.P{Y=-2X+1}=1

C.P{Y=-2X-1)=1

D.P(Y=2X-1)=1

正确答案：A

参考解析：

由P_xy=1可得P{Y=aX+b}=1，且a>0，排除B，C，又1=EY=E(aX+b)=aEX+b，由于EX=0，故b=1，所以A正确。

4 [单选题] 设随机变量X与Y相关，相关系数为ρ_XY，Z=aX+b(a，b为常数)，则ρ_YZ=ρ_XY的充分必要条件为（）．

A.a>0

B.a<0

C.a≠0

D.a=1

正确答案：A

参考解析：

5 [单选题] 

A.

B.

C.

D.

正确答案：A

参考解析：

6 [单选题] 设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，则E[(x-2)²e^2x]=

A.1．

B.2．

C.e²．

D.2e²．

正确答案：C

参考解析：

7 [单选题] 假设随机变量X与y相互独立具有非零的方差，DX≠DY，则

A.3X+1与4Y-2相关．

B.X+Y与X-Y不相关．

C.X+Y与2Y+1相互独立．

D.e^X与2Y+1相互独立．

正确答案：D

参考解析：

8 [单选题] 设X，Y为两个随机变量，若E(XY)=E(X)E(y)，则(  )．

A.D(XY)=D(X)D(Y)

B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)

C.X，Y独立

D.X，Y不独立

正确答案：B

参考解析：

因为E(XY)=E(X)E(Y)，所以Coy(X，Y)=0，又D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)，选(B)．

9 [单选题] 设X，Y为随机变量，若E(XY)=E(X)E(Y)，则(  )．

A.X，Y独立

B.X，Y不独立

C.X，Y相关

D.X，Y不相关

正确答案：D

参考解析：

因为Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)，所以若E(XY)=E(X)E(Y)，则有Cov(X，Y)=0，于是X，Y不相关，选(D)．

10 [单选题] 设随机变量X～U[0，2]，Y=X²，则X，Y(　　)．

A.相关且相互独立

B.不相互独立但不相关

C.不相关且相互独立

D.相关但不相互独立

正确答案：D

参考解析：

11 [单选题] 设随机变量X～U[-1，1]，则随机变量U=arcsinX，V=arccosX的相关系数为(　　)．

A.-1

B.0

C.

D.1

正确答案：A

参考解析：

12 [单选题] 设随机变量X～E(1)，记Y=max{X，1)，则EY=(  )．

A.1 

B.1-e^-1

C.1+e-¹ 

D.e^-1

正确答案：C

参考解析：

13 [单选题] 设随机变量X₁，X₂相互独立，且都服从标准正态分布N(0，1)，记Y=X₁-X₂，Z=X₁X₂，则Y，Z的相关系数ρ_yz=(  )．

A.-1

B.0

C.

D.1

正确答案：B

参考解析：

14 [单选题] 设随机变量(X，Y)的概率密度f(x，y)满足f(x，y)=f(-x，y)，且ρ_XY存在，则ρ_XY=(  )．

A.1 

B.0 

C.-1 

D.-1或1

正确答案：B

参考解析：

因为

15 [填空题]

参考解析：

【解析】

16 [填空题]

设随机变量X的概率分布为P{X=k}=

(k=0，1，2，…)，则E(X²)=________.

参考解析：

2

【解析】

注意到X服从泊松分布，

17 [填空题]

设随机变量X₁，X₂，…，X_n独立同分布，且有相同的概率密度，则概率P{X_n>min{X₁，X₂，…，X_n-1}}=________．

参考解析：

【解析】

18 [填空题]

设15000件产品中有1000件次品，从中任取150件进行检测，则检测到次品数X的期望EX=________．

参考解析：

10

【解析】

19 [填空题]

设(X，Y)～N(1，1，2，2；0)，U=X+2Y，V=X-2y，则ρ_UV=________．

参考解析：

【解析】

且X与Y相互独立．

20 [填空题]

设随机变量x～B(n，p)，且E(x)=3.2，D(X)=0.64，则P{X≠0)=_____.

参考解析：

0.9984

【解析】

X～B(n，P)则E(X)=np，D(X)=np(1-p)．

现E(X)=3.2，D(X)=0.64则3.2(1-p)=0.64，1-p=0.2，p=0.8，

E(X)=3.2=np=0.8n，n=4．

P{X≠0}=1-P{X=0}=1-(1-p)⁴=1-(0.2)⁴=0.9984．

41 [简答题]

设随机变量X和Y独立同分布，已知X～N(μ，σ²)，求Z=min(X，Y)的数学期望E(Z).

参考解析：

42 [简答题]

求Cov(X，Z).

参考解析：

43 [简答题]

试证：(1)

(2)

参考解析：

(1)

(2)

44 [简答题]

游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点的5分、25分、55分从底层上行，设一游客早上8点X分到达底层，且X在[0，60)上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望．

参考解析：

45 [简答题]

设随机变量X，Y独立同分布，且X～N(0，σ²)，再设U=aX+bY，V=aX-by，其中a，b为不相等的常数．求：

(1)E(U)，E(V)，D(U)，D(V)，ρ_uv；

(2)设U，V不相关，求常数a，b之间的关系．

参考解析：

(1)

(2)

46 [简答题]

设由自动生产线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(μ，1)，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格产品．销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润T(单位：元)与销售零件的内径X有如下关系：

问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大?

参考解析：

47 [简答题]

(1)求E(X)，D(X)；

(2)求Cov(X，|X|)，问X，|X|是否不相关?

(3)问X，|X|是否相互独立?

参考解析：

(1)

(2)

(3)

48 [简答题]

电信公司将n个人的电话资费单寄给n个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量X表示收到自己电话资费单的人的个数，求E(X)及D(X)．

参考解析：

令A_i={第i个人收到自己的电话资费单}，i=1，2，…，n，

49 [简答题]

设随机变量X与Y相互独立，都服从均匀分布U(0，1)．求Z=|X-Y|的概率密度及

参考解析：

U=X-Y的概率密度为

50 [简答题]

设点(X，Y)在以(0，0)，(1，0)，(0，1)为顶点的三角形内服从均匀分布，求X与Y的相关系数．

参考解析：

如图所示，由于该三角形的面积为0.5，故（X，Y）的概率密

51 [简答题]

已知某种股票现行市场价格为100元／股，设该股票每年的收益率等可能地呈现20％和-10％两种状态，求三年后该股票价格的期望值．

参考解析：

52 [简答题]

袋中有n张卡片，分别记有号码1，2．…，n，从中有放回地抽取k次，每次抽取1张，以X表示所得号码之和，求EX，DX．

参考解析：

53 [简答题]

(1)叙述切比雪夫不等式，并在连续型情形下给出证明；

(2)某地区有10000个电灯，每个电灯每晚开灯的概率均为0．7，设灯的开关是相互独立的，用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的电灯数为6900～7100盏的概率下限．

参考解析：

(1)切比雪夫不等式如下：

(2)令X表示“夜晚同时开着的电灯数”，则X服从n=10000，p=0.7的二项分布，则EX=np=7000，DX=np(1-p)=2100，由切比雪夫不等式可得如下估计：

第五节 大数定律和中心极限定理

1 [单选题] 设随机变量X₁，X₂，…，X_n相互独立，记Y_n=X₁+X₂+…X_n根据列维——林德伯格中心极限定理，Y_n近似服从正态分布(n充分大)，则只要X₁，X₂，…，X_n（）．

A.服从同一离散型分布

B.服从同一连续型分布

C.服从同一指数分布

D.具有相同的期望与方差

正确答案：C

参考解析：

列维一林德伯格中心极限定理的条件是X₁，X₂，…，X_n独立同分布，且期望与方差均存在． 满足选项A，B的随机变量的期望或方差不一定存在，故排除A，B． 对于D，有相同的期望与方差未必有相同的分布，故排除D． 只有C正确，指数分布的期望与方差均存在．

2 [单选题] 设随机变量X服从指数分布E(1)，用切比雪夫不等式得到估计P{X≥3}≤a，则a

A.1/2

B.1/4

C.1/8

D.e^-3

正确答案：B

参考解析：

显然，E(X)=1，D(X)=1．

P{X≥3}=P{X-1≥2}=P{|X-1|>2}-P{X-1≤-2}

                           =P{|X-1|≥2}+0=P{|X-EX|≥2}≤DX/4=1/4

3 [单选题] 设X_n表示将一硬币随意投掷n次“正面”出现的次数，则

A.

B.

C.

D.

正确答案：C

参考解析：

4 [单选题] 设X₁，X₂，…，X_n，…相互独立，则X₁，X₂，…，X_n，…满足辛钦大数定律的条件是(  )．

A.X₁，X₂，…，X_n，…同分布且有相同的数学期望与方差

B.X₁，X₂，…，X_n，…同分布且有相同的数学期望

C.X₁，X₂，…，X_n，…为同分布的离散型随机变量

D.X₁，X₂，…，X_n，…为同分布的连续型随机变量

正确答案：B

参考解析：

根据辛钦大数定律的条件，应选(B)．

5 [单选题] 

则下列结论不正确的是(  )．

A.

B.

C.

D.

正确答案：D

参考解析：

6 [填空题]

设随机变量X_i服从二项分布B(i，0．2)，i=1，2，…，10，且X₁，X₂，…，X₁₀相互独立，则根据切比雪夫不等式，有 

参考解析：

0.648

【解析】

7 [填空题]

参考解析：

【解析】

8 [填空题]

参考解析：

9 [填空题]

(1)将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为X，用切比雪夫不等式估计P(14<X<28)_______．

(2)

据切比雪夫不等式，P{4<Y<7}≥_______．

参考解析：

(1)

(2)

10 [填空题]

参考解析：

11 [填空题]

已知产品的废品率p=0.005，则10000件产品中废品数不大于70的概率为_____．

参考解析：

0.9977

【解析】

依题设，记10000件产品中的废品数为ξ，则ξ服从参数为10000，P的二项分布。P=0.005，Eξ=10000×0.005=50，Dξ=10000×0.005×0.995=49.75，由中心极限定理，

12 [填空题]

参考解析：

【解析】

依题设，随机变量X₁，X₂，…，X₄₀相互独立同分布，且概率密度为

13 [简答题]

一电路使用某种电阻一只，另外35只备用，若一只损坏，立即使用另一只更换，直到用完所有备用电阻为止．设电阻使用寿命服从参数为λ=0.01的指数分布，用X表示36只电阻的使用总寿命，用中心极限定理估计P(X>4200)(Φ(1)=0.8413，Φ(2)=0.9772)．

参考解析：

设第i只电阻使用寿命为X_i，

第六节 数理统计的基本概念

1 [单选题] 设随机变量X，Y均服从N(0，1)，则（）．

A.X+Y服从正态分布

B.X²+Y²服从

分布

C.

服从F分布

D.X²与Y²均服从

分布

正确答案：D

参考解析：

 由已知，X²～

(1)，Y²～

(1)，知D正确．

由于没有X，Y相互独立的条件，所以A，B，C未必成立．

2 [单选题] 

A.

B.

C.

D.

正确答案：C

参考解析：

3 [单选题] 设总体x服从正态分布N(0，σ²)，

，S²分别为容量是n的样本的均值和方差，则可以作出服从自由度为n-1的t分布的随机变量

A.

B.

C.

D.

正确答案：A

参考解析：

4 [单选题] 设(X₁，X₂，…，X_n)(n≥2)为标准正态总体X的简单随机样本，则(  )．

A.n

～N(0，1)

B.nS²～

²(n)

C.

D.

正确答案：D

参考解析：

选(D)．

5 [单选题] 设X～t(n)，则下列结论正确的是(  )．

A.X²～F(1，n)

B.

C.X²～

²(n)

D.X²～

²(n-1)

正确答案：A

参考解析：

6 [单选题] 

A.

B.

C.

D.

正确答案：B

参考解析：

题中未注明两个正态总体的独立性，而选项(C)和(D)成立的前提是X与Y相互独立，因此应排除．又依题设X₁，X₂，…，X₈和Y₁，Y₂，…，Y₁₀各自独立同分布，且

7 [单选题] 

A.

B.

C.

D.

正确答案：D

参考解析：

8 [填空题]

设总体N(μ，4²)的简单随机样本为(X₁，X₂，…，X₁₀)，样本方差为S²，已知P{S²>a}=0.1，则a≈_______．(已知

(9)=14．684，上侧分位数)

参考解析：

26.1

【解析】

9 [填空题]

假设X₁，X₂，…，X₁₆是来自正态总体N(μ，σ²)的简单随机样本，叉为样本均值，S²为样本方差，如果P{

>μ+aS)=0.95，则a=___．(t_0.05(15)=1.7531).

参考解析：

-0.4383

【解析】

10 [填空题]

参考解析：

2和4

【解析】

11 [填空题]

参考解析：

【解析】

12 [填空题]

设随机变量X～N(1，2)，Y～N(-1，2)，Z～N(0，9)且随机变量X，Y，Z相互独立，已知a(X+Y)²+bZ²～

²(n)(ab≠0)，则a=_______，b=_______，c=_______．

参考解析：

由X～N(1，2)，Y～N(-1，2)，Z～N(0，9)，得X+Y～N(0，4)，

13 [填空题]

参考解析：

14 [填空题]

参考解析：

1-pⁿ-(1-P)ⁿ

【解析】

Y³的所有可能取值为0，1．则

15 [简答题]

(1)

(2)

参考解析：

(1)

(2)

16 [简答题]

参考解析：

17 [简答题]

参考解析：

【解】

18 [简答题]

参考解析：

19 [简答题]

参考解析：

第七节 参数估计

1 [单选题] 

A.

B.

C.

D.

正确答案：D

参考解析：

选择(D)．

2 [单选题] 设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从参数为λ的指数分布，其中λ>0未知．从这批器件中任取n(n≥2)只，并在时刻t=0时投入独立寿命试验，试验进行到预定时间T₀结束，此时有k(0<k<n)只器件失效，则λ的最大似然估计量

为(  )．

A.

B.

C.

D.

正确答案：D

参考解析：

记T的分布函数为F(t)，则

3 [单选题] 设总体x在非负整数集{0，1，2，…，k}上等可能取值，k为未知参数，x1，x2，…，xn为来自总体X的简单随机样本值，则k的最大似然估计值为(  )．

A.x_n

B.

C.min{x₁，…，x_n}

D.max{x₁，…，x_n)

正确答案：D

参考解析：

由题意知，X的分布列为

4 [填空题]

参考解析：

【解析】

5 [填空题]

参考解析：

【解析】

6 [填空题]

设总体X的概率密度为

参考解析：

【解析】

似然函数为

7 [填空题]

参考解析：

【解析】

记x₁，x₂，…，x_n为样本值，则似然函数为

8 [填空题]

X₁是来自正态总体x～N(0，σ²)(σ>0)的一个简单随机样本，x₁为其样本值，则σ²的一个无偏估计量为________．

参考解析：

【解析】

9 [简答题]

设X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的简单随机样本，X的概率密度为 

 

参考解析：

10 [简答题]

参考解析：

依题意，得

11 [简答题]

样本值：1028，968，1007，求μ的矩估计值和最大似然估计值．

参考解析：

12 [简答题]

设相互独立的随机变量X₁，X₂，…，X_n均服从N(μ，σ²)，

(Ⅰ)求Y₁的概率密度；

(Ⅱ)利用一阶矩求σ的矩估计量；

(Ⅲ)求EY和DY．

参考解析：

 (Ⅰ)用定义法求f_Y1(y)．

(Ⅱ)

(Ⅲ)

13 [简答题]

设总体X的概率密度为

(1)

参考解析：

(1)

(2)

14 [简答题]

参考解析：

显然E(X)=0，

15 [简答题]

一自动生产包装机包装食盐，每袋重量服从正态分布N(μ，σ²)，任取9袋测得其平均重量为

=99.078，样本方差为s²=1.143²，求μ的置信度为0.95的置信区间．

参考解析：

16 [简答题]

X_n为取自X的简单随机样本．

(1)用原点矩求μ，θ的矩估计量；

(2)求μ，θ的最大似然估计量．

参考解析：

(1)

(2)因为似然函数为

17 [简答题]

设X₁，X₂，…，X_n是来自正态总体X～N(0，σ²)的一个简单随机样本．

(1)

(2)

(3)

参考解析：

(1)

(2)

由于

(3)由切比雪夫不等式，对任意的ε>0，有

18 [简答题]

设总体X～N(μ，σ²)，其中μ，σ²是未知参数，X₁，X₂，…，X_n是取自总体X的一个简单随机样本，求μ，σ²的矩估计量．

参考解析：

方法一  由总体的一阶原点矩和二阶中心矩分别对应样本的一阶原点矩和样本的二阶中心矩．对于正态分布

19 [简答题]

(1)

(2)

参考解析：

(1)由题意得

(2)

第八节 假设检验

1 [单选题] 在假设检验中，检验水平α的意义是（）．

A.原假设H₀成立，经检验H₀被拒绝的概率

B.原假设H₀成立，经检验H₀不能被拒绝的概率

C.原假设H₀不成立，经检验H₀被拒绝的概率

D.原假设H₀不成立，经检验H₀不能被拒绝的概率

正确答案：A

参考解析：

由P{拒绝H₀|H₀为真)=α，知A正确．

2 [单选题] 

A.H0：μ₁≤μ₂，H₁：μ₁>μ₂ 

B.H₀：μ₁≥μ₂，H₁：μ₁<μ₂

C.H₀：μ₁<μ₂，H₁：μ₁≥μ₂ 

D.H₀：μ₁>μ₂，H₁：μ₁≤μ₂

正确答案：A

参考解析：

要检验的是X的均值是否大于Y的均值，即μ1>μ2．假设检验要求原假设中含等号，以便在原假设成立时，统计量有一个确定的分布．选项(C)和

3 [单选题] 

满足独立同分布中心极限定理的是(  )．

A.

B.

C.

D.X_i服从参数为i的指数分布

正确答案：A

参考解析：

4 [填空题]

参考解析：

【解析】

5 [填空题]

设X～N(μ，σ²)，其中σ²已知，μ为未知参数．从总体X中抽取容量为16的简单随机样本，且μ的置信度为0.95的置信区间中的最小长度为0.588，则σ²=_______．

参考解析：

6 [简答题]

某种食品防腐剂含量X服从N(μ，σ²)分布，从总体中任取20件产品，测得其防腐剂平均含量为

=10.2，标准差为s=0.5099，问可否认为该厂生产的产品防腐剂含量显著大于10(其中显著性水平为α=0.05)?

参考解析：

7 [简答题]

设容量为n的简单随机样本取自总体X～N(3．4，6²)，且样本均值在区间(1.4，5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大?(φ(1.96)=0.975)

参考解析：