皮皮猫（阴冬惠）发来了这篇文章，讨论实际采集的信号长度和计算出来的采集时间是否一致的问题，是被人怼过以后的灵魂思考，请大家慢慢欣赏。
作者提示：本文看似高大上其实并没有什么卵用，请抱着轻松愉快的心情看
问题
从一个问题开始本文：假设以4Hz的采样率采集包含4个数据点的一个时域信号，那么这个时域信号的长度是几秒钟?
这似乎很简单，借助下面的公式就可以算出来：
我们提出的问题是：按照上面这个设置实际所采集到的时域信号的长度t真的就是采集时间T=1秒吗？
答案当然是否定的，这里有一个小bug。
我们把信号给画出来看看，先计算一下相邻的两个数据点之间的时间差δt(MHCC的教材中称为采样周期Ts)
按照δt画出信号图，习惯上我们假定时域信号从第0秒开始至第tmax秒结束：
图表1
上图你就能看出有问题的地方，第四个数据点同时也是最后一个数据点出现在了第0.75秒的位置上，这意味着这个时域信号的长度是从第0秒开始至第0.75秒结束，也就是时域信号的长度t=tmax-0=0.75秒。
很明显时域信号的长度t和采集时间T并不相等，两者不是一个东西。而且如果你对数据比较敏感的话你会发现和只差了一个δt，用公式来说明就是：
验证
上面的内容可以非常容易的进行验证，拿起手中的振动数采仪采集一个低采样率的信号就行了。笔者的两位小伙伴提供了他们的仪器在不同采集设置下的时域图形。
@骨哥-CSI电力(neopeak@qq.com) 挖坑小王子（吴新峰）
下图为CSI2130以256Hz采样率采集256个数据点得到的时域信号。这个时域信号从第0秒开始，虽然时间轴上有第1秒的刻度，但是注意看右下角时域信号的最后一个数据点在第0.996秒上。
@广州造纸。 可靠的小伙伴（赵宇坚）
下图为法康one-prod以128Hz的采样率采集256个数据点所得到的时域图，同样的注意时域信号的最右端并不是第2秒，而是第1.99219秒。
那么有没有哪个厂家的产品不是按照上面的方式显示的呢？还真的有，笔者自用的SKF就是。下图为SKF仪器极限采集设置：分析频率1Hz线数100线，也就是以采样率2.56Hz采集256个数据点所获得的时域图。明显最后一个数据点处在了第100秒上，这明显和法康以及CSI的仪器不一样，按照后面两种的显示方式最后一个数据点对应的时间点应该是
哪种显示方式是正确的不用争论，SKF的显示方式的确是有问题的，作为验证我在图中用竖线标识了两个数据点，分别是第45.88秒蓝色的数据点，以此为原点向右数第13个数据点的第50.98秒浅绿色的数据点，由此计算SKF显示模式中相邻两个数据点之间的时间差δt-skf，如下：
而实际上相邻数据点之间的时间差应该是采样率的倒数：
前期总结
从以上你可以看出时域信号的长度t和采集时间T并不是一回事。我们所采集的时域信号往往都是从第0秒开始到第tmax秒结束，时域图上信号的长度t需要采集时间T减去一个δt。
现在遗留的问题是：既然不是时域信号长度，那这个采集时间T究竟是个啥？又为啥会这样？
答案也很简单：采集时间T是将采集到的时域信号左右延拓后形成的离散周期信号的‘周期’ 。至于为啥会这样，应该是时域信号和频域信号的类型对应问题来背锅。
信号的类型
要说明这个答案，我们需要从信号的类型开始。我们所说的信号有两大类属性，一个信号可以是离散的或连续的，也是周期的或非周期的。将两大类属性自由组合，我们可以把信号分成4种：
信号处理中有些内容是非常反常识的，某些惯性的固有认知会相当的妨碍你去理解新的概念！请注意，这里我们说的是‘信号’的类型，而频域信号和时域信号一样也是一种信号，也只有上面4种类型。
同样要注意的是对傅里叶变换而言任何时域信号的长度都应该是无限的！因为傅里叶变换的核心正弦类函数的定义里明确规定该函数是从负无穷向正无穷延伸的。没有任何一种傅里叶变换可以对有限的时域信号进行变换。如果时域信号是连续的，这个信号就应该在时间上从负无穷到正无穷；而如果时域信号是离散的，那么信号包含的数据点数就应该是无穷多个。
这就带来一个很严重的问题，我们用数采仪采集到的必然是数据点数有限的信号，不可能是无穷的。数采仪即保存不了无穷多的数据点，逻辑上你采集一辈子也只能采集到数量有限的数据点。那怎么办呢？解决的方法有两种，都需要一点点的想象力，你要把有限信号看起来像是无限信号。以本文一开始提到的4个数据点的时域离散信号为例:
第一种方法是：你可以设想在采集到的有限信号的左右方向上有着无穷多的数据点，这些数据点的值都是‘0‘。这样采集到的信号看上去就成了一个离散非周期信号。
上图中右侧非离散周期时域信号只显示了有限信号左右各4个数据点的效果，实际上是无限的，上图没有完全画出效果。
第二种方法是：将采集到的有限信号在左右方向上复制粘贴无穷多次，进行周期延拓。此时信号看上去就像是离散周期信号。
上图中右侧离散周期时域信号只显示了向左右各延拓一次后的结果，实际上是无限延拓的，图上没有完全画出效果。
时域和频域信号的类型对应
讨论完信号的类型，我们接着不得不讨论下时域信号和频域信号的类型对应问题。这实属无奈，被逼的。我们知道时域信号和频域信号类型上都有4种：连续周期的，连续非周期的，离散周期的和离散非周期的。不同类型的时域信号只能用特定的傅里叶变换得到对应的频域信号。
信号类型的对应有这样的规律：一个域的信号如果是周期的则另一个域必定是离散的；一个域是非周期的则另一个域必定是连续的，反之亦然。按照这个规律我们就可以得到下面的对应关系：
时域信号 | 适用的傅里叶变换类型 | 频域信号 |
连续非周期信号 | 傅里叶变换 | 连续非周期信号 |
连续周期信号 | 傅里叶级数 | 离散非周期信号 |
离散非周期信号 | 离散时间傅里叶变换(DTFT) | 连续周期信号 |
离散周期信号 | 离散傅里叶变换(DFT) | 离散周期信号 |
比如说一个连续周期的时域信号，只能通过傅里叶级数计算得到离散非周期的时域信号。而离散非周期的时域信号只能通过离散时间傅里叶变换得到连续周期的频域信号。特别的：频域信号包含两张谱：幅值谱（即我们常用的频谱）和相位谱。
有了这样的对应关系，我们再来看一看我们实际上能用计算机算法实现的有哪些。很明显时域信号不能是连续的，必须是离散的，因为你根本没办法采集到连续的信号，再强悍的数采仪也做不到时间上毫无间隔的连续采样，不可能完成的任务。同样频域信号也不可以是连续的，连续意味着需要计算频谱上每一个频率成份的幅值，而这样的频率成份有无穷多个。所以综合的看下来唯独只有离散周期时域信号使用DFT获得离散周期的频域信号这一条路是可以用计算机算法实现的。
有限信号周期化中的细节
上面说了只有一条路子可以走计算机算法实现，这条路子需要时域信号是离散周期的，所以我们只有使用上面信号类型里所说的第二种方法，将信号左右周期化延拓的方法来将采集到的有限离散信号转变成无限的离散周期信号。周期化的时域信号会有一个明显的好处，你不需要去计算整个无穷跨度上的所有数据点，而只需要计算其中任意一个周期的就足够了。计算频域信号的方式近似于计算平均功率，计算1个周期，3个周期或者无穷多个周期的结果是一样的。
由于本文的主题并不是傅里叶变换，所以不会就频域的周期性是什么样子的这个话题展开下去，就此为止。本文所关注的是有限的离散时域信号在周期延拓中变成离散周期时域信号的过程中的细节部分。
我们把信号类型中图1的例子拿过来仔细的观察下获得离散周期信号：
请试着观察这个信号并回答这样一个问题，这个信号的周期是多少？
很明显的这个信号的周期是1秒。信号第0.25秒的值与第1.25秒和第-0.75秒的值对应相等，而第-0.5秒的值与第0.5秒和第1.5秒的值对应相等，同理第0秒的值与第-1秒和第1秒的值相等。这些时间点之间的插值都是1秒，根据周期的定义很明显周期为1秒。
周期化的过程中你需要慎重的处理原始有限信号和左右侧延拓信号相邻的部分，将注意力集中到原始有限信号和右侧第一延拓部分：
注意观察图上两个箭头所指示的原始有限信号的最后一个数据点和第一延拓部分的第一个数据点。为了保证信号整体的采样率不变，我们只能把右侧第一延拓部分的第一个数据点放在第1秒的位置上而不是时间轴上其他的时间点。这就恰好的解释了为何离散周期信号的周期会和采集得到的时域信号长度差一个。同样的，时间轴上其他的延拓部分都需要同样的处理手法，一个离散信号中你只能有一个采样率。
最终完结
本文逼逼叨叨的一大堆，其实就说了一件事：时域信号的长度t和采集时间T并不是一回事，两者之间差了一个δt(采样率的倒数)。诸位读者可以在工作中用最低的采样率采集信号，检查下自己的仪器显示模式是否正确。实际工作中我们使用的采样率少则2560Hz，多则上万赫兹，这一丢丢的误差并不会对实际工作产生任何影响。写本文的动机也是笔者以前被人用这个问题怼的生活不能自理而已。
Mirook点评：
其实可以（就应该）这样理解，每个采样点都不是一个没有长度的瞬间的点，而是有长度的，这个长度就是δt，计算的时候都是按段来计算的。实际所采集到的时域信号的长度t真的就是采集时间T，拿最开始的例子，没有第一个0.25秒的时间，第一个值是怎么来的？每一个点都是花了0.25秒才采集到的，4个点就花了1秒。
只不过画波形的时候把段画成了点，不管是把点画在这一段的开始，中间还是结尾，看起来总是少了一截δt。还按举例来说，正确的画法应该把第一个值画在第0.25秒，0秒时是没有值的，空着就好了。有的厂家不想空一个值，忽略了这个长度，也不是什么大问题，不影响任何计算和分析。反而是skf这种画法，显示的两个点间的距离和采样频率不一致，就是错误的了。
有人就喜欢“琢磨”到点儿东西就拿来到处怼人，大部分没想过这问题的人很容易被唬住，觉得果然厉害，一旦遇上明白的就只剩贻笑大方了。
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