专题二:差倍问题应用题
知识点说明:
差倍问题就是已知大小两数的差,以及大小两数的倍数关系,求大小两数的问题.
差倍问题的特点与和倍问题类似。解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差,一般情况下,在题目中不直接给出,需要经过调整和计算才能得到。
解题思路:首先要在题目中找到1倍量,然后画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应,相除后得到的结果是一倍量
差倍问题的基本关系式:
差÷(倍数-)=倍数(较小数)
倍数×几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数
解决差倍问题,关键是学会画线段图,这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系.
年龄问题的和差与差倍问题主要利用的年龄差不变。
板块一、差倍问题
【例 1】 李爷爷家养的鸭比鹅多只,鸭的只数是鹅的倍,你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗?
【分析】 引导学生画图,但是一定要强调差所对应的份数,这样我们就可以求一份量(一倍量),从而解决题目.与只相对应,这样就可以求出一倍数也就是鹅的只数,求出了鹅的只数,鸭的只数就容易求出来了.鸭与鹅只数的倍数差是(倍),鹅有 (只),鸭有 (只).
【巩固】 两个书架,甲书架存书相当于乙书架存书量的倍,甲书架比乙书架存书多本,则乙书架存书多少本?
【详解】 多的本相当于乙书架的倍,则乙书架的书为:(本).
【例 1】 某小学原来参加室外活动的人数比参加室内活动的人数多人,现在把室内活动的人改为室外活动,这样室外活动的人数正好是室内人数的倍,则参加室内、室外活动的共有多少人?
【详解】 原来室外、室内活动人数相差人,现把室内的人改为室外活动,这样室外活动人数比室内人数多(人),这时室外活动人数正好是室内人数的倍,人相当于现在室内活动人数的(倍),这样可先求出现在室内活动人数为,再求出室内、外人数之和:人.
【例 2】 师、徒两人共加工个零件,师父加工的个数比徒弟的倍还多个,师父和徒弟各加工零件多少个?
00001【解析】 把徒弟加工的个数看作份数,师父加工的个数就比份数还多个,如果师父少加工个,两人加工的总数就少个,总数变为个,就可以求出师父和徒弟各加工多少个了.徒弟做了:(个),师父做了:(个).
【例 3】 甲班的图书本数比乙班多80本,甲班的图书本数是乙班的3倍,甲班和乙班各有图书多少本?
00002【解析】 乙班的本数: 80÷(3-1)=40(本)
甲班的本数: 40×3=120(本)或40+80=120(本)。
【例 2】 有两根铁丝,第一根长米,第二根长米,两根铁丝用去同样长的一段后,第一根剩下的长度是第二根剩下长度的倍,两根铁丝各剩下多少米?
【分析】 引导学生画图,并找出本题中数与份数之间的关系.以学生探索为主,教师指导为铺.用去同样长的一段后,两段长度差为:(米),且第一根比第二根多:(倍),则第二根剩下:(米),第一根剩下:(米).
【巩固】 有两条纸带,一条长厘米,一条长厘米,两条纸带都剪下同样的一段后,长纸带剩下的长度是短纸带剩下的倍,问剪下的一段有多长?
00001【解析】 长纸带剩下长度比短纸带剩下的长度长:(厘米),短纸带剩下:(厘米),剪下:(厘米).
【巩固】 二⑴班的图书角里有故事书和连环画共本,如果故事书拿走本后,故事书的本数就是连环画的倍.原有连环画和故事书各有多少本?
00001【解析】 可引导学生,让他们自己画图来分析,教师辅导指正.从线段图可以看出,如果故事书拿走本以后,则正好是连环画的倍.这时故事书与连环画总数应减少本,列式成 (本),正好是连环画本数的()倍.
⑴如果故事书拿走本,总本数为:(本)
⑵现在连环画与故事书的倍数和为:
⑶连环画有:(本)
⑷故事书有:(本)
【例 3】 有两根同样长的绳子,第一根截去12米,第二根接上14米,这时第二根长度是第一根长的3倍,两根绳子原来各长多少米?
00002【解析】 如上图,两根绳子原来的长度一样长,但是从第一根截去12米,第二根绳子又接上14米后,第二根的长度是第一根的3倍.应该把变化后的第一根长度看作1倍,而12+14=26(米),正好相当于第一根绳子剩下的长度的2倍.所以,当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了,那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。
第一根截去12米剩下的长度:(12+14)÷(3-1)=13(米)
两根绳子原来的长度:13+12=25(米)
【巩固】 有甲、乙两艘货船,甲船所载货物是乙船的3倍.若甲船增加货物1200吨,乙船增加货物900吨,则甲船所载货物是乙船的2倍.甲船原载货物多少吨?
00003【解析】 甲船所载货物是乙船所载货物的3倍,乙船增加900吨,甲船就应增加900×3=2700(吨),实际少增加2700-1200=1500(吨).少增加的重量等于乙船现有货物的3-2=1(倍),所以甲船原载货物(1500-900)×3=1800(吨).
【例 4】 某迎春茶话会上,买来苹果箱,已知每箱苹果取出千克后,剩余的各箱苹果总和等于原来一箱苹果的重量,问原来一箱苹果多重?
【分析】 此题目较难找出数量间的关系,但是一定还的让学生自己动脑想一想,之后,教师再引导学生画图,共同探讨分析.取出千克,即原来的比剩下的多千克,原来有箱,剩下一箱的重量,即原来的是剩下的倍,所以(千克)为剩下的重量,即一箱的重量.
【巩固】 菜站运来的白菜是萝卜的3倍,卖出白菜1800千克,萝卜300千克,剩下的两种蔬菜的重量相等,菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克?
00001【解析】 这样想:根据“菜站运来的白莱是萝卜的3倍”应把运来的萝卜的重量看作1倍;“卖出白菜1800千克,萝卜300千克后,剩下两种蔬菜的重量正好相等”,说明运来的白菜比萝卜多(千克).这个重量相当于萝卜重量的(倍),这样就可以先求出运来的萝卜是多少千克,再求运来的白菜是多少千克.所以运来萝卜:(千克),运来白菜:(千克).
【例 5】 有大小两个桶原来水一样多,如果从小桶倒千克水到大桶,则大桶中水是小桶的倍,求原来大桶有水多少千克?
【详解】 现在大桶水比小桶水多:(千克),所以现在小桶中的水是:(千克),而原来大桶中有水是:(千克).
【巩固】 某校五年级比六年级人数少人,若六年级学生再转来人,则六年级学生是五年级学生的倍,问五、六年级各有多少人?
00004【解析】 五年级人数为:(人),六年级的人数:(人).
【巩固】 小云比小雨少20本书,后来小云丢了5本书,小雨新买了11本书,这时小雨的书比小云的书多2倍.问:原来两人各有多少本书?
00001【解析】 小雨的书比小云的书多2倍”,即小雨的书是小云的书的3倍.这个“倍数”是变化后的,所以“1倍”数应是小云变化后的书(见下图).“差”是20+5+11=36(本).
小云现有书:(20+5+11)÷(3-1)=18(本);小云原来有书18+5=23(本),
小雨原来有书23+20=43(本).
【巩固】 三(1)班与三(2)班原有图书数一样多.后来,三(1)班又买来新书74本,三(2)班从本班原书中拿出96本送给一年级小同学,这时,三(1)班图书是三(2)班的3倍,求两班原有图书各多少本?
【详解】 两个班原有图书一样多.后来三(1)班又买新书74本,即增加了74本;三(2)班从本班原有图书中取出96本送给一年级同学,则图书减少了96本.结果是一个班增加,另一个班减少,这样两个班图书就相差96+74=170(本),也就是三(1)班比三(2)班多了170本图书.又知三(1)班现有图书是三(2)班图书的3倍,可见这170本图书就相当于三(2)班所剩图书的3-1=2倍,三(2)班所剩图书本数就可以求出来了,随之原有图书本数也就求出来了(见上图)。
后来三(1)班比三(2)班图书多多少本?74+96=170(本)
三(2)班剩下的图书是多少本?170÷(3-1)=85(本)
三(2)班原有图书多少本?85+96=181(本)(两个班原有图书一样多)
综合算式:(74+96)÷(3-1)+96=170÷2+96=85+96=181(本)
【例 6】 甲、乙俩人存款若干元,甲存款是乙存款的3倍.如果甲取出80元,乙存入20元,甲、乙的存款正好相等.问甲、乙俩人原来各存款多少元?
00001【解析】 “甲存款数是乙存款数的3倍”,乙存款数就是l倍数,而甲存款数比乙存款数多的倍数是 倍.因为“甲取出80元,乙存入20元,甲、乙的存款正好相等”,可知甲的存款数比乙的存款数多(元).利用差倍问题的公式,可求出1倍数,即乙原来的存款数 (元),从而求出甲原来的存款数(元).
【巩固】 甲、乙各有若干本书,若甲给乙本,则二人的书相等,若乙给甲本则甲的本数是乙的倍,甲、乙各有书多少本?
00005【解析】 乙给甲本书后剩下的书:(本),乙原有书:(本),甲原有书:(本).
【巩固】 学而思图书馆书架上下两层放着一批书,如果上层少放8本 ,上下两层的本书就一样多,如果下层少放8本 ,上层的书就是下层的2倍,问书架上下两层各有多少本书?
00002【解析】 如果上层少放8本 ,上下两层的本书就一样多,说明上层比下层多8本;如果下层少放8本 ,上层的书就是下层的2倍,把下层书作为一倍量,下层少放8本之后与上层相差的本数是:(本),此时下层书的本数是:(本),所以下层有(本)书,上层有(本).
【例 7】 (2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛)兄妹俩人去买文具,哥哥带的钱是妹妹的两倍,哥哥用去180元,妹妹用去30元,这时兄妹俩人剩下的钱正好相等,哥哥带了________元钱,妹妹带了________元钱.
00001【解析】 由题目的条件“哥哥带的钱是妹妹的两倍”知:哥哥的钱比妹妹的钱多一倍,又由“哥哥用去180元,妹妹用去30元,这时兄妹俩人剩下的钱正好相等,知:哥哥比妹妹多(元),则知妹妹带了150元,哥哥带了300元.
【巩固】 食堂里有94千克面粉,138千克大米,每天用掉面粉和大米各9千克,几天后剩下的大米是面粉的3倍?
00002【解析】 因每天用掉的面粉和大米数量相等,不论经过多少天,面粉和大米的数量差都不变,仍然是:138-94=44(千克)。
我们把几天后剩下的面粉重量看作1份,大米重量也就是3份,则几天后剩下面粉:44÷(3-1)=22(千克)。用掉的面粉总量除以每天用面粉数量,可以得出所求的天数:(94-22)÷9=8(天)。
【例 8】 幼儿园大班每人发张画片,小班每人发张画片,小班人数是大班人数的倍,小班比大班多发张画片,那么小班有多少人?
00003【解析】 小班每个人就会发张画片,那么,小班的个人比大班的个人多发了张画片,总共多发了张,所以小班有人.
【巩固】 实验小学一校区人数比实验小学二校区人数少540人,因为第三校区建成,从两个校区各调走200人,这时实验小学二校区人数恰好是实验小学一校区人数的4倍,那么实验小学一校区和实验小学二校区原来各有多少人?
00002【解析】 两校区各调走200人之后还是相差540人,对应的倍数是:倍,实验小学一校区调走200人后剩下的人数是:(人),实验小学一校区原有:(人),实验小学二校区为:(人).
【例 9】 有两盘苹果,如果从第一盘中拿个放到第二个盘里,那么两盘的苹果数相同;如果从第二个盘中拿个放到第一盘里,那么第一盘的苹果数是第二盘的倍.第一盘有苹果多少个?
00001【解析】 原来第一盘比第二盘多:(个),从第二盘拿个到第一盘里,第一盘就比第二盘多:(个),第二盘拿走个后剩下的苹果数为:(个),第一盘原有苹果:(个) .
【巩固】 小青和小红每人都有一些水彩笔,如果小青给小红1支,两人就一样多,如果小红给小青1支,小青的水彩笔就是小红的2倍,那么小青和小红各有多少支水彩笔?
00001【解析】 “小青给小红1支,两人就一样多”说明小青原来比小红多(支),“如果小红给小青1支,小青的水彩笔就是小红的2倍”则小红给小青1支后,小青就比小红多(支),这与倍数差(倍)相对应,这样就可以求到小红的水彩笔现在是(支),她原来就是(支),小青原来是:(支).
【巩固】 小明和小刚各有玻璃弹球若干个.小明对小刚说:“我若给你两个,我们的玻璃弹球一样多.”小刚说:“我若给你两个,你的弹球数量将是我的3倍.”小明和小刚共有玻璃弹球多少个?
00002【解析】 由小明说的话推知,小明的玻璃球比小刚多4个,如果小刚给小明2个,那么小明比小刚多8个.
8个是小刚还剩下玻璃球数量的3-1=2倍,此时小刚有玻璃球8÷2=4(个),小明有玻璃球4+8=12(个),两人共有玻璃球4+12=16(个)
【例 10】 小新家有大小两个书架,大书架上的书的本数是小书架的3倍,如果从大书架上取走150本放到小书架上,那么 两个书架上的书一样多,大小书架上原来各有多少本书?
00001【解析】 根据从大书架上取出150本书放人小书架,两个架上的书的本数相等,知大书架比小书架多150×2=300本.这样就可以作为一道典型的“差倍问题”来进行解答了.
由于大书架上的书是小书架的3倍,把小书架上书的本数看做I倍量,大书架比小书架多300本对应于小书架的(3-1)倍量.
大书架比小书架多的书数: 150×2=300(本),
两个书架相差几倍: 3-1=2倍,
小书架原有书: 300÷2=150(本),
大书架原有书: 150×3=450(本).
【巩固】 甲、乙两桶油重量相等,甲桶取走千克油,乙桶加入千克油后,乙桶油的重量是甲桶油的重量的倍.甲桶原来有油多少千克?
00001【解析】 后来乙比甲多千克油,所以这时甲桶油的重量是:(千克),甲桶原来有油(千克) .
【巩固】 两根绳,第一根长米,第二根长米,剪去同样长后,第一根是第二根的倍,求每根绳减去几米?
00001【解析】 剪去同样长后,第一根比第二根长米,因此,第二根剩下的长为
米,从而剪去的长度为米 .
【巩固】 两个筐中各有苹果若干千克,第一个筐中的苹果是第二筐中的苹果的4倍,如果从第一个筐中取出26千克苹果,从第二个筐中取出2千克苹果,则两筐苹果的重量相等.你知道这两个筐中原来各有苹果多少千克吗?
00002【解析】 从图中可以看出,第一个筐中的苹果是第二筐的4倍,则第二筐的苹 果数是一倍数.如果第二筐中少取出2千克,剩下的重量就正好相当于1倍,那么两筐苹果的相差数26-2=24(千克),相当于第二筐原来重量的3倍.两筐苹果的差和倍差都知道了,就可以求出两筐苹果原来的重量.两筐苹果的倍数差是4-1=3(倍),两筐苹果相差26-2=24(千克),第二筐原来有苹果重量24÷3=8(千克),第一筐原来有苹果重量8×4=32(千克).
【巩固】 两块同样长的花布,第一块卖出31米,第二块卖出19米后,第二块是第一块的4倍,求每块花布原有多少米?
00003【解析】 已知两块花布同样长,由于第一块卖出的多,第二块卖出的少,因此第一块剩下的少,第二块剩下的多.所剩的布第二块比第一块多31-19=12(米).又知第二块所剩下的布是第一块的4倍,那么第二块比第一块多出的12米正好相当于所剩布的(4-1)倍,这 样,第一块所剩布的长度即可求出(见上图)。
第二块布比第一块布多剩多少米?31-19=12(米)
第一块布剩下多少米?12÷(4-1)=4(米)
第一块布原有多少米?4+31=35(米)(两块布原有长度相等)
综合列式:(31-19)÷(4-1)+31=12÷3+31=4+31=35(米)
联系客服