如何严谨地证明 0.9999……=1？

这其实是一道很好的划分数学能力与阶段的题目，这道题目可以说是横贯了整个人类的数学发展史，从小到大，随着数学能力的不断提升，至少见到这道题4遍，而每次标准的解答都不相同。这里提供4种不同的解答思路，分别代表4个数学阶段

第一次见到这道题是在小学奥数的题目，当时还年轻，开心的写下了0.99999小于1。而拿到答案惊呆了，这两者竟然相等，在咨询后明白了，1/3等于0.3333，2/3等于0.6666，3/3等于0.999等于1。这个解答虽然不甚严谨，但在小学刚学分数时仍是醍醐灌顶一般。这个解答代表了数学的第一个阶段，也是毕达哥拉斯学派阶段。

在一年之后，新一年奥数比赛前，老师带做前一年卷子，这是才知道标准解答根本不是一年前理解的那样，而是利用方程：

设x＝0.99999

10x＝9.99999

10x－x＝9

9x＝9

x＝1

这个解答同样在年幼时感到巧妙，有趣的是，这个方法同样对应着数学的一个阶段，那就是未知数/方程的诞生。

在高二的时候第三次遇到这道题目，这次仍然是为了参加奥赛而遇到的这道题，按照上面提到的第二种方法解答被老师狠狠的嘲笑了。这时已经涉足数论方面，但感觉越来越吃力。老师给出的解答方案是看能不能找出一个数大于0.9999同时小于1。如果能那么0.9999＜1，如果不能，那么0.9999＝1。当时只能承认这个方法的严谨，但却在心中嘲笑着这个方法的晦涩难懂。此时的还不知道自己正在嘲讽数学的皇冠－数论。这也正是数学的第三个阶段。

又过了两年，当上了大学，学了数分，知道了ε－σ语言，学过了级数，学过了上下限，这时才真正知道了，什么是真正严谨的数学思想与数学逻辑，相比之下以前学过的东西不过是沧海一粟而已，这种方法也代表着现代数学，微分积分的时代。