人造地球卫星轨道及经纬度计算
L.H.M
目录
一、 人造地球卫星的运动方程及初始条件.................. 1
二、 求运动方程的解析值................................ 2
三、 求运动方程的数值解................................ 5
四、 地球的自转....................................... 7
五、 人造地球卫星的经纬度公式.......................... 8
一、人造地球卫星的运动方程及初始条件
设某时刻人造卫星处于W点，其坐标为（x，y），此时地球对人造卫星的引力记为F。根据万有引力定律，F的数值为
其中m为人造卫星的质量，μ为地球引力常数。F的方向为卫星的位置W指向地球中心O的方向，即与的方向相同，因此可将力F用向量的坐标形式表示如下：
设人造卫星的运动规律是x=x(t)，y=y(t)，根据动力学基本定律，加速度等于力除以质量，便可得到人造卫星的运动方程为
根据某人造卫星的近地点高度h1=439km，远地点高度h2=2384km，近地点速度v1=0.4866kkm/min。则其初始条件为
二、求运动方程的解析值
求解方法：
1、先将方程组（1）、（2）积分一次，使其成为一阶方程组；
2、引入极坐标，再用分离变量法求得解的表达式。
求解过程：
将（2）式乘以x，减去（1）式乘以y，可得
由于，所以（3）式就是
将（4）式积分一次，得
其中c1是一个积分常数。
再将（1）式乘以，减去（2）式乘以，然后相加，得到
由于，，
所以（6）式可写成
再由于，，所以（7）式可进一步写成
将（8）式积分一次，便得
其中c2也是一个积分常数。
我们知道，是卫星的动能，表示卫星在地球引力场中的势能，所以（9）式的力学意义就是能量守恒。
为了方便求解，引入极坐标
通过计算容易得出
将x，y及其导数的上述极坐标表达式代入（5）式与（9）式，便可得到
根据（14）、（15）式解出r与θ的关系（即卫星的轨道）以及θ与t的关系（即确定卫星在轨道上的运动规律）。
由（14）、（15）式消去，可得
再将（16）式除以（14）式，得
移项后得
将此式积分一次得到
作变量代换，（17）式左边就化成
记，这是一个常数，上式还可以进一步化成
因此（17）式，即为
其中为积分常数，而也作为一个替代的积分常数，这样便得
经简化后得
其中
根据解析几何知识，（18）式给出的曲线，当e=0时为圆，当0＜e＜1时为椭圆，当e=1时为抛物线，当e＞1时为双曲线。p称为半通径，e称为离心率。
当e≥1时，卫星将离开地球引力进入太阳系，成为绕太阳运转的小行星或到其他星球上去。
人造卫星始终绕着地球运转，必定是0≤e＜1，且轨道一般为椭圆（即0＜e＜1）。该椭圆以坐标原点（即地球中心）为焦点，近地点在处，远地点在处。
为了简化起见，我们取Ox轴从地球中心指向近地点，这样（18）式中，而人造卫星运动的轨道方程即（18）式就可写成
将（20）式代入（14）式，并根据（19）式知，可得
将此式积分一次得
从积分表可查出上式右端的积分。为了简化起见，设卫星处于近地点的时刻为初始时刻，即θ=0时t=0，这样便得
再注意到上式中arctan这一项在θ=±π，±3π，±5π，。。。时会有间断性的跳跃，其数值从π/2跳跃到-π/2，总共跃度为-π，所以为了保证时间表达式的连续性，在一般情形下的表达式可以修改成：当(2i - 1)π<θ<(2i + 1)π(i=0，1，2，。。。)时
（18）、（22）式确定了r、t为θ的函数，这样便给出了卫星运动方程的解。在确定了卫星的椭圆轨道参数p、e以后，便可确定卫星位置的极坐标（r、θ）随时间t的变化规律。
三、求运动方程的数值解
引入
将（1）、（2）的卫星运动方程组，化成一阶微分方程组。
其中μ为地球引力常数。同时初始条件
龙格—库塔（Runge-Kutta）方法：
选取步长h=1/20，我们用龙格—库塔（Runge-Kutta）方法对一阶微分方程组的初值问题在时间区间【0，115】中进行计算。计算结果见下表。
t | 用龙格—库塔法所得的数值 | 用解析法所得的数值 | ||||||
x | dx/dt | y | dy/dt | x | dx/dt | y | dy/dt | |
0 | 6.8170 | 0 | 0 | 0.4866 | 6.8170 | 0 | 0 | 0.4866 |
5 | 6.4360 | -0.1505 | 2.3876 | 0.4596 | 6.4360 | -0.1505 | 2.3876 | 0.4596 |
10 | 5.3493 | -0.2790 | 4.5154 | 0.3846 | 5.3493 | -0.2790 | 4.5154 | 0.3846 |
15 | 3.7073 | -0.3709 | 6.1783 | 0.2766 | 3.7073 | -0.3709 | 6.1783 | 0.2766 |
20 | 1.7100 | -0.4211 | 7.2558 | 0.1532 | 1.7100 | -0.4211 | 7.2558 | 0.1532 |
25 | -0.4376 | -0.4319 | 7.7103 | 0.0295 | -0.4376 | -0.4319 | 7.7103 | 0.0295 |
30 | -2.5541 | -0.4099 | 7.5676 | -0.0843 | -2.5541 | -0.4099 | 7.5676 | -0.0843 |
35 | -4.4939 | -0.3624 | 6.8938 | -0.1822 | -4.4939 | -0.3624 | 6.8937 | -0.1822 |
40 | -6.1470 | -0.2963 | 5.7769 | -0.2612 | -6.1470 | -0.2963 | 5.7769 | -0.2612 |
45 | -7.4349 | -0.2171 | 4.3151 | -0.3201 | -7.4349 | -0.2171 | 4.3150 | -0.3201 |
50 | -8.3046 | -0.1297 | 2.6095 | -0.3587 | -8.3046 | -0.1297 | 2.6094 | -0.3587 |
55 | -8.7241 | -0.0376 | 0.7620 | -0.3769 | -8.7241 | -0.0376 | 0.7619 | -0.3769 |
60 | -8.6789 | 0.0557 | -1.1262 | -0.3750 | -8.6788 | 0.0557 | -1.1263 | -0.3750 |
t | 用龙格—库塔法所得的数值 | 用解析法所得的数值 | ||||||
x | dx/dt | y | dy/dt | x | dx/dt | y | dy/dt | |
65 | -8.1705 | 0.1471 | -2.9541 | -0.3528 | -8.1705 | 0.1471 | -2.9540 | -0.3528 |
70 | -7.2168 | 0.2333 | -4.6204 | -0.3103 | -7.2166 | 0.2333 | -4.6205 | -0.3103 |
75 | -5.8533 | 0.3102 | -6.0233 | -0.2475 | -5.8531 | 0.3102 | -6.0234 | -0.2475 |
80 | -4.1376 | 0.3732 | -7.0618 | -0.1647 | -4.1374 | 0.3732 | -7.0619 | -0.1647 |
85 | -2.1540 | 0.4164 | -7.6392 | -0.0634 | -2.1537 | 0.4164 | -7.6392 | -0.0634 |
90 | -0.0188 | 0.4326 | -7.6704 | 0.0529 | -0.0186 | 0.4326 | -7.6704 | 0.0530 |
95 | 2.1148 | 0.4146 | -7.0956 | 0.1776 | 2.1150 | 0.4146 | -7.0955 | 0.1776 |
100 | 4.0596 | 0.3564 | -5.8994 | 0.2992 | 4.0598 | 0.3564 | -5.8992 | 0.2993 |
105 | 5.6088 | 0.2567 | -4.1342 | 0.4022 | 5.6088 | 0.2567 | -4.1340 | 0.4022 |
110 | 6.5682 | 0.1224 | -1.9378 | 0.4689 | 6.5682 | 0.1224 | -1.9376 | 0.4689 |
114 | 6.8170 | 0.0010 | -0.0153 | 0.4866 | 6.8170 | 0.0010 | -0.0151 | 0.4866 |
115 | 6.8025 | -0.0299 | 0.4709 | 0.4856 | 6.8025 | -0.0299 | 0.4712 | 0.4856 |
四、地球的自转
地球是绕着一根轴在自转的，这根轴我们称为地球的自转轴。地球绕太阳一周为一年，约365.25天，地球自转一周约为一天，因此地球自转的角速度为
纬度φ的变化范围为-90°≤φ≤90°，并且
在赤道φ=0°
在北极φ=90°
在南极φ=-90°
在北半球 0°＜φ＜90°（北纬）
在南半球 -90°＜φ＜0°（南纬）
经度σ的变化范围为-180°≤σ≤180°，并且
中经度σ=0（子午线是取通过英国伦敦的一个天文台）
经度σ=180°（子午线是取通过太平洋中部—国际日期变更线）
在北半球 0°＜φ＜180°（东经）
在南半球 -180°＜φ＜0°（西经）
有关城市的经纬度：
北京：φ=39.9°，σ=116.4°
上海：φ=31.2°，σ=121.5°
哈瓦那：φ=23.0°，σ=-82.5°
墨尔本：φ=-37.8°，σ=144.9°
五、人造地球卫星的经纬度公式
人造卫星在空中的位置和地球中心的联线同地球表面的交点称为卫星的星下点，卫星的经纬度就是指星下点的经纬度。已知人造卫星在轨道平面内的运动规律，为了对人造卫星作出预报，还须进一步求出人造卫星的经纬度，这样就能确切地知道人造卫星何时通过什么地区、什么城市。
假设t=0时，人造卫星到卫星的矢经扫过的角度为θ，这时卫星的经度σ及纬度φ分别由下式给出：
其中，A为卫星轨道平面与赤道的交点，ω为地球自转速度，σ0为降交点的经度。
六、影响人造地球卫星轨道的一些因素
除了地球引力之外，还有其他因素影响卫星的运动，这些因素有：太阳、月亮和其他行星的引力；高空稀薄气体的阻力；地球内部结构的不均匀使地球引力所产生的偏离；地球较接近于椭球体，赤道隆起部分使地球对卫星的引力产生偏离等。这些因素对卫星所产生的影响，称为“摄动”，虽然比较微小，但在卫星较长时间的运动过程中，这些影响就会表现出来。
椭球体的摄动，使人造卫星的轨道平面在围绕地轴缓缓向西转动，并使近地点的位置在轨道内产生变化。
根据理论分析及实际应用检验，记σ0为降交点的经度，θ0为降交点至近地点在轨道平面内的转角，降交点和近地点的变化速度为
(°/天)
(°/天)
其中R1表示地球赤道半径（R1=6378公里），a表示长半轴，A表示轨道平面与赤道平面交角。
已知某人造地球卫星(°/天)，(°/天)。取负号表示降交点是西移的，即经度减少；取负号表示降交点至近地点在轨道平面内的转角逐渐减少。考虑椭球体的摄动后，将能比较精确地进行卫星轨道二天的预报。
大气阻力的摄动，使卫星的动能不断损耗，轨道日益缩小。在缩小过程中，远地点较快下降而近地点较慢下降，这就使轨道的形状逐渐接近于圆形，最后堕入稠密大气而陨灭。
卫星的近地点与远地点离地面越高，它受大气的影响就越少，它的飞行时间就越长。
原苏联的第一颗人造卫星近地高度为228公里，远地点高度为947公里，它的飞行时间才三个月。而我国的第一颗人造卫星预计至少可以飞行20年。
七、实例计算
【例1】确定我国第一颗人造卫星在轨道平面内的运动规律。
解：确定我国第一颗人造卫星近地高度为439公里，远地点高度为2384公里。
令θ=0、π，则得近地点离地球中心距离为
远地点离地球中心距离为
由（25）、（26）可解出
所以，可得
因此，我国第一颗人造地球卫星的轨道方程是
在算出p，e后，再根据地球引力常数
这样可以算出时间表达式中的系数b1、b2、b3为
当(2i - 1)π<θ<(2i + 1)π(i=0，1，2，。。。)时
其中时间t的单位为分钟。
【例2】试确定直角坐标（x，y）及速度关于θ的表达式。
解：根据极坐标和直角坐标的变换关系式，并利用（20）及（21）式，可得
【例3】确定近地点速度v1与远地点速度v2的公式，并对我国第一颗人造卫星计算它们的值。
解:v1与v2都是y轴方向的速度，v1向上，v2向下。根据（20）及（21）式，在θ=0处求导数可得
同理，在θ=π处求导数可得
将具体数据代入计算，可得近地点速度v1与远地点速度v2的数值为
近地点速度v1与远地点速度v2也可以用R、h1、h2来表达
其中是椭圆的轨道长半轴。
【例4】设已知我国第一颗人造地球卫星在1970年4月29日19时43.8分，从西北往东南方向飞过赤道某地P点（降交点）上空，它恰好为近地点，其经度约为σ0=134.6°。问在轨道平面内转过角度θ=37.15°后，在什么时间？处于何地上空？
解：首先根据有个时间的表达式，可以算出θ=37.15°相当于近地点的时间为
因此，实际时间为4月29日19时53分。
再以A=68.5°，ω=0.25°/min，σ0=134.6°，θ=37.15°及t=9.2min代入卫星经纬度表达式，可以得到
这就是4月29日19时53分卫星的经纬度。从地图上可以查出此点附近的城市有墨尔本（φ=-37.8°，σ=144.9°），因此在19时53分将通过墨尔本附近上空。
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