陪孩子读几何原本（3）：如何作一个等边三角形（命题1）
这是我非常重视的一个系列，因为某种大家都懂的原因，拖更很久了，现在来填坑。
爱因斯坦曾经说：“如果欧几里得未能激发你少年时代的科学热情，那你肯定不是天才科学家！”这话说得虽然有点夸张，但是从中你应该还是能感觉到《几何原本》的巨大影响力。为什么我如此推崇《几何原本》？因为这可能是唯一一本小学生都能读懂，同时还能感受到数学真正的逻辑和体系之美的书。说得再直白一点，虽然我们从小学到高中学了那么多年的数学，但是我觉得那学的并不是数学，而是算术。一般人可能要等到大学才开始系统地学习真正的数学，那时候才开始认识到什么是真正的数学，并被数学真正的美而折服，但《几何原本》可以让小学生就感受到这一点。
所以，如果你想让你的孩子从小就体会到真正的数学之美，那从《几何原本》入手可能是最好的选择之一。但因为这本书原著比较难读，一般的家长可能也很难搞清楚里面的重点在哪里，所以抽空开了这个系列。
在上一篇文章《陪孩子读几何原本（2）：定义与公设》里我讲了定义和公设，上上一篇整体的介绍了陪孩子读《几何原本》的意义（不过这篇好像公众号里没有，在知识星球里，点击阅读原文可以查看，关于这个系列更加细致的讨论也应该在星球里）。现在我们正式带读第一个命题。大家翻开书，你会发现命题1就是：给定一条线段，让你做一个等边三角形。好，作为家长，拿到这个命题1，你的第一反应是什么？
什么？欧几里得的第一件事是要我作一个等边三角形？这么简单，里面会不会有什么玄机？做个等边三角形，我以前上数学课的时候不是经常做么？我有100种方法作出来。
比如，如果他要我作一个边长为5厘米的等边三角形，我就用直尺先量一个5厘米的线段出来。聪明如我，肯定知道等边三角形每个角都是60°，拿再用量角器量一个60°的角，把它延长，就得到了一个60°的角∠LMN。
因为等边三角形的每条边都相等，所以我再用尺子在第二条边上也量一个5厘米出来，再把所有的点都连起来就是一个等边三角形了，so easy。当然，如果就是这样作了一个等边三角形，把答卷交上去，欧几里得肯定给你0分。
你可能会觉得，没错啊。等边三角形三条边相等，三个角都相等，而且都是60°，我画的没错啊，以前数学课上我也是这样画的。是，以前数学课里都是这样画的，所以我才说以前从小学到高中学的都不是数学，不过是算术而已。《几何原本》要从五个公设出发，推导出一座几何大厦出来。我们只需要承认这五个基本的公设，你就不得不承认后面几百个命题，这是逻辑演绎的一座丰碑。这些话你在其他地方可能都听过，但是你并没有什么概念。以前许多文章也只是跟你说《几何原本》多么厉害多么重要，没讲里面的命题到底是如何贯彻这种思想的。《几何原本》只从五个公设（其实还有五个公理和一些定义）出发，那么你所有的操作就都必须遵守这个规范。你一开始用尺子作了一条5厘米长的线段，这个操作是合法的么？不合法。因为没有哪条公设、公理能保证你作出一条5厘米长的线段出来，所以你就不能这么干。《几何原本》公设都是跟几何相关的，现在压根没有涉及到数字、度量。别说5厘米这个概念没有，连5这个数现在都没有，《几何原本》要到第七卷定义了数，才定义了1。所以，命题1也只是说给一条一定长度的线段，它没说线段的长度是多少。然后，我随便给了一条一定长度的线段，你再做一个以它为边长的等边三角形来。同样，相信有了这个分析，你就知道你的第二步操作（用量角器量一个60°的角）也是非法的了。现在的那些公设和公理，没有哪一条能保证你做一个60°的角出来，所以你也不能用。
那你可以干啥呢？你可以干5条公设允许你干的事，我们再复习一下这5条公设：
5、过直线外一点有且只能作一条直线与已知直线平行。我们假设给定的这条线段叫线段AB，我先以A为圆心，以B为半径做一个圆，这个操作可不可以？
因为公设3说“以任一点为圆心，任意长为半径可以作圆”。既然它说以任意点为圆心，任意长为半径可以作圆，那么我以A点为圆心，AB长为半径做一个圆就是有理可依了吧。
同样，我再以B点为圆心，以AB为半径做一个圆，是不是也是可以的？
这样，以A点为圆心的圆和以B点为圆心的圆相交于一点，我们假设这个点是C。
然后我们把A点和C点之间用一条线连起来，这个操作是不是合法的呢？合法，因为公设1说过两点能作且只能作一条直线。因为有了这条公设，我们才可以把点A点C连起来。一定要记住，我们做任何操作，都要找到依据。
然后，欧几里得就告诉你，这样我就做出了一个等边三角形ABC了。为什么？
因为我以A点为圆心，AB为半径做了一个圆，C也是这个圆上的一个点。那么，根据圆的定义（定义15）：圆是由一条线所围成的平面图形，其内有一点与这条线上所有点连成的所有线段都相等，这个点叫圆心。
也就是说，根据圆的定义，圆心到圆周上面任意一点的距离都相等，所以AB=AC。同理，C点也在圆B上，那么AB=BC。好，既然我们现在有AB=AC，也有AB=BC了，那我们可以不可以直接就认为一定有AB=AC=BC了呢？不行，还是那句话，一切操作都要有理有据，重新学习《几何原本》，你一定要把你自己的所有经验都清零。我们必须从公设、公理、定义中找到了依据你才能这么干。
也就是说，即便到了这么显而易见的地方，我们也不能根据自己的经验作任何“显而易见”的判断。如果我们想建立一个非常严密的体系，你就不能有半点含糊，不能有半点差不多就行了的想法，这才是数学！
好，有了公理1，它说等于相同的量的量也彼此相等，那现在AC和BC都和AB相等，那么现在我们才能说：根据公理1，AC和BC也相等，这样才能得到AB=AC=BC。
可以看到，书里在每一步操作后面都标明了它这么做的依据，那些[公设3]、[公设1]、[定义15]、[公理1]就是这个意思，就是说这一步是根据这个公设、定义、公理得到的。因为这个第一个命题，所以我讲的啰嗦了一点。也因为是第一个命题，许多人刚捧起书来看的时候会有点懵，他不知道为什么要把事情搞得这么复杂，为什么不能用以前他更熟悉的东西，所以我这里多说一些。
我们初次接触《几何原本》，要把自己内部的经验都清空，就跟令狐冲学习吸星大法一样，必须先把自己的内力都清空了才行。
我们要以一个全新的心态，完全空杯的心态去学习《几何原本》，因为这是一套完全不同于我们平常接触的体系。我们平常学的东西都是奔着实用去的，你要问小学生们他学数学是为了干什么，可能大部分还是会觉得是为了方便计算，为了生活上的实用。我们古代的数学教材《九章算术》也是这样，它是一部应用习题集，教你各种问题的算法和解法，但这不是数学，是算术。西方古代的数学教材是《几何原本》，它的逻辑性，严密性才是第一位的，欧几里得根本不考虑《几何原本》的实用性，根本不考虑这玩意工程师用起来顺手不顺手。
这个我在《你也能懂的微积分》的第三节里也讲了，大家要好好体会，特别要好好把这种精神跟学生孩子说清楚，不然这《几何原本》就白读了。切不要以为学习《几何原本》的目的就是为了更快更好的证明各种类型的几何体，要是这样，那《几何原本》就完全失去了价值，你还不如自己买本几何习题集去练呢。《几何原本》的价值就在它严密的逻辑上。最后，即便你以为欧几里得的这个证明已经很严密了，但它还是遭受了非常多批评，批评它不够严密。
哪里不严密呢？最大的问题就是，你以分别以A和B为圆心画了一个圆，欧几里得默认它们有一个交点C，那么，这一步是如何保证的呢？
保证不了！也就是说，两个圆相交于一点C，这个C点的存在性是没有得到证明的，虽然我们直观的看起来，它们都在一个平面，那就一定有交点。
是，你是可以感觉到它们有交点，但是你感觉到的东西你得证明啊。你要是凭感觉就可以了，那我还直接感觉过一条线段一定可以作等边三角形呢？数学的奥秘就在这里。当然，考虑到欧几里得是两千多年前的人，毕竟也有些东西无法达到现代数学要求的严密，也是可以理解的。后面到了希尔伯特的《几何基础》那里，这些问题自然都得到解决了。
数学需要顶级的严密，就像打地基一样，基础牢固，后面才不会山崩地裂。好，第一个命题就讲到这了。如果你家孩子有更多个性化，更奇怪特殊的问题，可以去知识星球里提问，我会根据情况针对性地作出解答。毕竟，科普就是为了孩子们，对待中小学生，我的耐心是极大的~
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