翻看2018年的数学中考，直角三角形的存在性问题仍是热点

前言：《中考高频考点系列》都是由典型例题、方法规律总结和精选的配套练习题（附答案）组成，内容完整详实，所有题型不偏不冷，完全针对中考出现的高频考点，进行讲练结合式的强化提高，这是一套很有收藏价值的资料。

本篇重点讲解“直角三角形的存在性问题”。（已推出的旋转结构、直角结构、中点结构、半角结构、一线三等角模型等内容，请关注“胡不归数学课堂”查看）

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翻看2018年的全国各地中考卷，“直角三角形的存在性问题”仍是热点考题之一，有多个地区对这个考点进行了考查。下面先讲此题型的解题思路，再以一道2018年的中考原题为例，详细说明此题型的解题策略。

【方法指导】

如下图，已知点A、B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形

若要找P点的位置和个数，可以用“两线一圆”法，即分别过点A、B作AB的垂线，再以线段AB为直径作圆，两垂线和圆与l的交点即为所有P点，共有4个，如下图所示：

若求点坐标，有以下方法：

①“万能法”

②其他方法

作垂线，用勾股定理或相似建立等量关系，然后求解即可.

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【典例解析】

1、（2018兰州中考28题）

解答（3）：存在. 理由如下：

综上所述，点M的坐标为（5/2，-9）或（5/2，11）.

注意：本题第（3）问的解答过程用到了两点间的距离公式：

设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂)是平面直角坐标系中的两个点,则

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点P在运动时，CE、PE、PD三条线段长度之和是否有最小值？若有，请求出此时点P的坐标．

(3)请直接写出能够满足P、A、D三点组成直角三角形的所有点P的坐标．

综上，能够满足P，A，D三点组成直角三角形的点P的坐标为(0，11)或(0，－4)或(0， （3+√41） /2 )或(0， （3-√41） /2 )．

【配套习题】

答案：

（2）由题意可知，抛物线的对称轴为直线x＝1，点C的坐标为(0，2)，∵点C与点B关于直线x＝1对称，

如下图，连接AB，与对称轴x＝1交于点D，连接AC，CD，此时△ACD的周长最小，最小为AC＋AB.

∵A(－2，0)，C(0，2)，B(2，2) ∴AC＝2√2，AB＝2 √5 ∴AC＋AB＝2√2＋2√5.

故△ACD的周长最小值为2√2＋2√5.

（3）存在，点P的坐标为(1，－3)或(1，1)，理由如下：

综上，当点P的坐标为(1，－3)或(1，1)时，△ACP为直角三角形．