如图,已知抛物线y=﹣(x 2)(x﹣m)/m(m>0)与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,且点A在点B的左侧.
(1)若抛物线过点G(2,2),求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,解答下列问题:
①求出△ABC的面积;
②在抛物线的对称轴上找一点H,使AH CH最小,并求出点H的坐标;
(3)在第四象限内,抛物线上是否存在点M,使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
考点分析:
二次函数综合题.
题干分析:
(1)把点G的坐标代入抛物线的解析式中可求得m的值;
(2)①根据(1)中的m值写出抛物线的解析式,分别求抛物线与x轴和y轴的交点坐标,根据坐标特点写出AB和OC的长,利用三角形面积公式求△ABC的面积;
②由对称性可知:x=1,点A和B关于抛物线的对称轴对称,所以由轴对称的最短路径可知:连接BC与对称轴的交点即为点H,依据待定系数法可求得直线BC的解析式,将x=1代入得:y=3/2,则点H的坐标为(1,3/2);
(3)在第四象限内,抛物线上存在点M,使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似,根据∠ACB与∠ABM为钝角,分两种情况考虑:①当△ACB∽△ABM时;②当△ACB∽△MBA时,利用相似三角形的判定与性质,确定出m的值即可.
解题反思:
本题是二次函数综合题,主要考查的是轴对称路径最短问题、待定系数法确定函数解析式、坐标与图形性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.
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