统计学的发展——整理数据的常见方法之集中趋势

为了便于分析，需要在不损失信息的前提下，对看起来杂乱无章的数据进行必要的归纳和整理。现存的文献表明，第一个对大量的统计资料进行系统地，卓有成效地整理的是英国统计学家格朗特（1620-1674）。那是瘟疫大面积在欧洲流行的时代，伦敦的有关机构出版了有关死亡原因的每周报表。格朗特对这些报表进行了认真的整理和分析，于1662年出版了《死亡报表的自然和政治观察》，其中首次揭示了男孩的出生率高于生孩的事实。受格朗特的影响，英国古典政治经济学创始人威廉·配第（1623-1687）于1690年出版了《政治算术》，这是第一部利用数量分析进行国情国力比较的著作。英国天文学家哈雷（1656-1742）于1693年发布了布雷斯劳人口死亡率表，出版了《人口死亡率下降估计》，第一次利用数据探讨了死亡率与年龄的关系，提出了如何对死亡率进行估计的问题。

因为这些学者的工作，开始形成了数据整理的有效方法。下面我们通过一个例子来阐述一些常用的数据整理方法，数据如下：

对某一品种的树苗进行调查，随机抽取了100株，测量了树木的直径。测量结果发现：最小直径大于6.5cm，最大直径小于17.5cm。于是从6.5出发，每隔1cm做一个区间，到17.5正好11个区间，分别用数字7，8，...，17表示。在记录直径在每一个区间的树木的株数，得到下列数据：

（7，2），（8，5），（9，8），（10，10），（11，13），（12，26），（13，12），（14，9），（15，8），（16，4），（17，3） （ 1）

上述数对中，第一个数表示数的直径所在的区间，第二个数表示区间中树木的株数。

令k=11，用（x_i,y_i）对应表示上面的数对，则i=1，...，k。我们从几个方面来整理这些数据，在这个过程中阐述数据整理的基本方法

（一）集中趋势

如果需要非常简洁地述说这100株树木的直径，应当如何表述呢？首先会想到用平均数，确实，平均数能表述数据的平均状态，能反映数据的集中程度。一般来说，如果用a₁,...,a_n来表示n个数据，则平均数定义为

u(a)=(a₁+a₂+...+a_n)/n

现在考虑例（1），因为数据是分组的，那么，平均数为

u(x)=(1/100)·(x₁·y₁+x₂·y₂+...+x_k·y_k)

= (1/100)·(7·2+8·5+...+17·3)

=1198/100

11.98(cm)

也就是把所有的直径加起来，然后再除了株数。令w_i=(1/100)y_i，则w_i表示第i个区间树木的株数在100株树中所占比例，即第i个区间树木出现的频率，其中i=1，...，k。容易验证，平均数也可以用下面的公式计算：

u(x)=x₁·w₁+x₂·w₂+...+x_k·w_k (2)

称上式为加权平均，并称w_i为权。注意到所有的权均为正数，并且满足w₁+w₂+...+w_k=1。我们将会看到，（2）式所表示的加权平均是具有一般性的。

通常使用的，表示集中趋势的量还有两个：中位数和众数。中位数是指把数据由小到大排队后最中间的那个数。如用用a₍₁₎≤...≤a_(n)表示数据由小到大的排列，那么，中位数可以定义为

考虑（2）式，树木直径的数据是由小到大排队的，而且数据的大小是比较对称的，容易得到中位数是12(cm)。众数是指数据中出现频率最多的那个数，在这个例子中众数也是12(cm)，因为它对应的株数是26，是最多的。

在例（1）中，平均数，中位数和众数三个数是相等的，这是为什么呢？主要原因在于数据的对称性，我们将会看到对称的数据会给统计分析带来很多便利。如果数据偏重一侧，那么，这三个数就会产生差异，那么，在这个时候用哪个量表述集中趋势更好呢？我么稍后讨论。

有了这些量，不仅可以表述调查对象的集中趋势，还可以用来对不同的总体进行比较。比如，我们又对另一片山林种植的同样品种的同期树苗进行调查，用同样的方法得到平均数是9cm，那就可以得到初步的结论，前者好于后者。在这个结论下，就需要对土壤肥力，通风条件等等进行分析，找出造成差异的原因。在中小学的教学活动中，经常用考试的平均分来评价教学效果，其中的道理是一样的。