椭圆周长有精确计算公式吗？对天体运算有什么用？

圆的周长非常容易计算，因为圆的周长与其直径之比为恒定的圆周率，所以圆的直径乘以圆周率就能算出周长。在某种意义上，圆是椭圆的一种特殊形式，两个焦点重合、半长轴（a）等于半短轴（b）的椭圆就是圆。

虽然圆的周长有初等函数表达式，但椭圆的周长却没有简单的计算公式。不过，这并不意味着椭圆没有周长计算公式。事实上，椭圆周长公式可以用积分形式精确表达出来：

其中e为椭圆的离心率：

只不过这是第二类完全椭圆积分，没有解析解，这意味着它不能用初等函数表示，只有在是圆的情况下才能。但借助计算机，通过插值法等数值方法可以算出一定精度的椭圆周长。或者，可以借助其他近似的初等函数公式来计算椭圆的周长。

拉马努金在短暂的一生中发现了许多经典的公式，其中包括收敛速度非常快的圆周率公式，也包括椭圆周长的近似公式，比较有代表性的是下式：

其中h表示：

这个公式的误差很小，即便圆周率只取3.14，也能得到不错的精度。

如果对第二类完全椭圆积分进行展开，椭圆的周长公式还有无穷级数的形式：

在上式中，取的项数越多，计算结果越精确。

在现实中，天体的运动轨道没有完美的圆形，大都是椭圆形。利用椭圆周长的无穷级数公式来计算能够得到极高的精度，这足够用于天体运动的计算。

另外，由于引力作用引起的近日点进动，天体的每个公转轨道其实也不是重合的。例如，地球每年的近日点和远日点的位置和日地距离都在发生变化；水星的近日点进动是八大行星中最大的那个，因为它最为靠近太阳。