贝努利（Bernouli）不等式的证明及应用

且

，n为整数；有

 

证法1：（数学归纳法）

（1）当

时，等式显然成立

     当

时，

（2）假设

时，等式成立，（

）有

当n=k+1时，

综上可知不等式成立

证法2：联想到

当

时，

当

   

证法3：当

当

，则

证法4：

证法5：只证

；       设

，故

 

 

应用举例

1．  已知

（1）      证明：

（2）      证明：

证：（1）略

   （2）

； 

2．（07湖北21）已知

（1）用数学归纳法证明：

（2）对于

。已知

，求证：

（3）求出满足等式

的所有正整数n

证：（1）略    （2）当

，

时；由（1）知

于是

（3）      由（2）知，当

时，

即

，即当

时不存在满足该等式的正整数n，故只需讨论

的情况，经检验，可求n只有

推论

1）

，

且

2）

，

有

  

，

有

3）

；则有

4）设

，则

当且仅当

时取到“=”

证：

3.设函数

（1）当n=6时，求

的展开式中二项式系数最大的项

（2）

，证明

（3）是否存在

使得

若存在，试证明你的结论，并求出a的值；若不存在，请说明理由？

解：给（3）一个全新的证法

，

即

；  两边6次方

；

有

，进而有

从而有

成立

综上存在a=2使得不等式恒成立。

（后加：

  ）