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听一听：《对应用意识的理解及培养策略》
读一读：《“两个数量关系的故事”学生懂吗？——加减两步计算应用问题中学生掌握情况研究》
算一算：《绕口令》
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节选自王光明、范文贵主编《新版课程标准解析与教学指导—小学数学》一书
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坚持阅读八分钟
阅 读 目 录
01 加、减两步计算应用问题的分类
02 学生掌握情况分析
03 启示
01 加、减两步计算应用问题的分类
运用数学解决问题是学习数学的目的之一。解决应用问题是培养学生应用意识的重要途径。此处的“应用问题”是指用语言、文字或图形等表示已知数量与未知数量之间的关系，求未知数量的问题。是一种将数学与现实问题相结合的问题形式。
浙江省功勋教师张天孝老师就曾形象地说：一步应用题就是讲一个“数量关系的故事”，它与加、减、乘、除四则运算的意义是密切联系的，一步加法或减法的“数量关系”主要有以下五类：
加、减一步计算应用问题数量关系
以上应用问题分类，对于数学教学研究有重要的意义。这对于深入研究促进数量关系本质的理解、帮助学生学会分析数量关系等问题有着重要价值。
加、减两步计算应用问题是把以上某种数量关系进行组合，讲述两个数量关系的故事。为了便于研究，我们把求比一个数多几和求比一个数少几的类型归为一类。在考虑到数量关系的逻辑性与现实情境的合理性基础上两两组合，一共得到15种类型。
笔者对现行人教版教材分析发现，上述十五个类型的数量关系，教材并未一一呈现，主要有9道例题，其中有8道出现在一、二年级，1道出现在了三年级，涉及5类复合数量关系，练习中涉及另外3类复合数量关系。
02 学生掌握情况分析
教材中出现的类型学生掌握情况如何呢？学生能否迁移以解决教材未出现的另7类应用问题？带着问题，笔者进行了测查。
笔者编制了两份测试卷，第一份测试卷为8道文字型应用问题，第二份测试卷为7道文字类型应用问题和2道图式类型应用问题。两次测试时间相距一周，在学年末，选定了一年级159名学生、二年级120名学生进行测查。测试时间为35分钟。测试结束后进行了抽样访谈，分别选了20名学生进行访谈。根据波利亚的《怎样解题》一书中关于解题过程的分析确定了学生数学问题解决的评价层次，下面是依据评价标准对测查结果进行的分析、各类型题两个年级的正确率统计。
统计结果显示，二年级末学生解决应用问题的整体表现略微高于一年级末学生。两个年级学生在“两次求总数”、“先求总数再求剩余”、“先求剩余再求总数”这三类加减两步计算应用问题方面掌握得较好，处于水平层次4的学生人数相当。
分析发现，这三种数量关系的测试题与是教材中的例题是类似的，都是学生比较熟悉的。
“先求比一个数少几的数，再求总数”这种复合类型的数量关系正确率较低，二年级学生的正确率高于一年级学生。这种数量关系的应用问题解答正确率与其他类型的应用问题相比，差距明显。
一年级的学生没有学习过，因此正确率低不足为怪。但我们也发现，有25%的学生是全对的，38.6%的学生达到层次2，他们能部分理解题意，解答过程有部分合理性。一年级学生从未见过的复合数量关系，但在一年级上册学习了数的大小比较，一年级下册学习了求一个数比另一个数多几或少几的应用问题，且在总复习的练习中出现了求比一个数多几的数是多少的习题。这或许是一年级学生答对的原因之一。
此类题出现在二年级上册第四单元，是一步计算应用问题到两步计算应用问题的过渡例题，如果去掉中间问题，它蕴含的数量关系结构是：先求比一个数少几的数，再求总数。教材中的例题、练习并未直接出现此类型的两步计算应用问题，类似的例习题共2道。直接测查“先求比一个数少几的数，再求总数”的加减两步计算应用问题，二年级末学生的正确率也偏低。
对于一年级末的学生而言，从未见过的复合数量关系，他们已有的知识经验又是什么呢？
学生在一年级上册学习了数的大小比较，一年级下册学习了求一个数比另一个数多几或少几的应用问题。直到一年级下册的总复习的练习中，出现了求比一个数多几的数是多少，也就是说解题所需的知识散落在一年级的教材中。
因此在解决这类型题时，尽管一年级末的学生并未学习过此数量关系，从卷面测查结果上看，除了全对的25%的占比外，还有高达38.6%的层次2学生能部分理解题意，解答过程有部分合理性。
层次2的所有学生真的理解其中的部分数量关系吗？
“根据哪句话来解决问题的？”层次2的学生都说用到了“男同学比女同学少2”的信息。“算式25-7求什么”，70%的学生能说出算式意义，10%的学生回答完问题后立刻给出正确的解题思路，20%的学生不能说出算式意义。“为什么用减法计算”，部分学生说看到了“少”字，所以用减法，这部分学生并不属于理解部分题意，应属于层次1-1：不能正确理解题意，解答过程无法判断。
再思考
层次1、层次4的学生又是怎样思考的？
访谈发现，层次1的学生仅仅抓住题目中的一些字、词进行答题，着眼于问题，看到“一共”就用加法计算。解决此类应用问题表现处于不能正确理解题意，解答过程不能正确判断的学生与年级差异没有关系。
层次4的学生，对于基本的数量关系掌握得好，能清晰的表述出解决问题的思路，二年级末的部分学生能列出综合算式解决问题。
从以上分析可知，“先求比一个数少几的数，再求总数”类型的加减两步计算应用问题，人教版教材把其分解为两个一步计算问题解决的方式，增加中间问题，降低学生学习难度。
对于教材没有出现的7种类型，57.14%都集中在了求相差与其它简单数量关系的复合上。这些类型，学生掌握的情况如何呢？笔者进行了第二次测查。
教材只涉及到8类复合的数量关系，对于教材没有出现的类型都有哪些呢？57.14%的类型都集中在了求相差与其它简单数量关系的复合上。这些类型，学生掌握的情况如何呢？笔者进行了第二次测查。
从正确率上看，教材中没有出现的复合数量关系类型，一二年级的学生解答仍然有困难，正确率偏低。整体上看，二年级学生的答题表现要高于一年级学生。从访谈得知，一年级大部分学生表示不理解“相差”一词，答题过程中只注重抓关键字词来直译题目解答，而没有进行数量关系的分析。
03 启 示
通过对学生加减两步计算应用问题的掌握情况的研究，笔者得到一些启示：
启示一：现行人教版教材中不乏对加、减两步计算应用问题解决过程的策略指导，但教材对应用问题当中数量关系的分析，从一步计算应用问题过渡到两步计算应用问题的训练，需要加强关注。
启示二：教材编排时不要过于集中在某几种数量关系上，应适量增加多种数量关系的两步计算应用问题，以帮助学生更好的解决问题。
启示三：教师在教学过程中，要加强数量关系的教学，重视帮助学生分析数量关系的训练，在教学中应适量增加中间问题的训练。
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算一算：绕口令
有所小学很有名，常举行“头脑奥林匹克”比赛。一次比赛中有条绕口令如下，大家也来试一试吧！
选手好几百，小张最年轻。
要问她几岁，请听绕口令：
年龄加年龄，年龄减年龄，
年龄乘年龄，年龄除年龄，
通通加起来，恰好一百整。
快来试一试，脑袋灵不灵？
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