高中数学必修二空间向量及其运算(经典案例)

今天给同学分享高中数学必修二空间向量及其运算知识梳理，通过五个经典案例解答，对高中数学必修二空间向量及其运算要点整合。

一、      知识点梳理

2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)

4．直线的方向向量与平面的法向量的确定

二、      要点整合

2．建立空间直角坐标系的原则

3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法

三、经典案例解答

1、空间向量的线性运算

如图，在长方体ABCD­A₁B₁C₁D₁中，O为AC的中点．

(1)化简－－＝________．　

(2)用，，表示，则＝________．

解题方法：

1、       用基向量表示指定向量的方法

2、共线、共面向量定理的应用

已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：

(1)E，F，G，H四点共面；

(2)BD∥平面EFGH.

解题方法

2、       空间向量的数量积与坐标运算

(1)如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P_i(i＝1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则·(i＝1，2，…，8)的不同值的个数为(　　)

A．1　　　　　　　　　　     B．2

C．4                               D．8

(2)正方体ABCD­A₁B₁C₁D₁中，BB₁与平面ACD₁所成角的余弦值为(　　)

A.　　                         B．

C.                                D．

(3)已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ＝________．

解题方法：

3、       利用空间向量证明平行和垂直

(1)(2015·高考湖南卷节选)如图，已知四棱台ABCD­A₁B₁C₁D₁的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A₁A＝6，且A₁A⊥底面ABCD，点P，Q分别在棱DD₁，BC上．若P是DD₁的中点，证明：AB₁⊥PQ.

(2)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．

求证：PB∥平面EFG.