2020-2021学年山东省泰安市宁阳一中高二（上）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）（2021秋·马鞍山期末）抛物线的准线方程是（　　）

A． B． C． D．

2．（5分）（2020秋·宁阳县校级期末）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则能使l∥α的是（　　）

A．（1，2，1），（1，0，1）

B．（0，1，0），（0，3，0）

C．（1，﹣2，3），（﹣2，2，2）

D．（0，2，1），（﹣1，0，﹣1）

3．（5分）（2020秋·宁阳县校级期末）已知双曲线，则（　　）

A．双曲线C的焦距为

B．双曲线C的虚轴长是实轴长的6倍

C．双曲线与双曲线C的渐近线相同

D．直线y＝3x与双曲线C有公共点

4．（5分）（2021·辽宁模拟）以点（3，﹣1）为圆心，且与直线x﹣3y+4＝0相切的圆的方程是（　　）

A．（x﹣3）²+（y+1）²＝20 B．（x﹣3）²+（y+1）²＝10

C．（x+3）²+（y﹣1）²＝10 D．（x+3）²+（y﹣1）²＝20

5．（5分）（2022春·泰兴市期末）如图所示，在四面体O﹣ABC中，，，，点M在OA上，且2，N为BC的中点，则（　　）

A． B．

C． D．

6．（5分）（2020秋·宁阳县校级期末）已知四棱锥P﹣ABCD中，，，，则点P到底面ABCD的距离为（　　）

A． B． C．1 D．2

7．（5分）（2021秋·六安期末）已知数列{a_n}中，a₁＝2，a_n＝1（n≥2），则a₂₀₂₁等于（　　）

A．﹣1 B． C． D．2

8．（5分）（2021秋·沙坪坝区校级期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F₁，F₂，P，Q分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且∠QF₂P＝60°，记椭圆和双曲线的离心率分别为e₁，e₂，则等于（　　）

A．4 B．2 C．2 D．3

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

（多选）9．（5分）（2020秋·濠江区校级期末）点P在圆C₁：x²+y²＝1上，点Q在圆C₂：x²+y²﹣6x+8y+24＝0上，则（　　）

A．|PQ|的最小值为0

B．|PQ|的最大值为7

C．两个圆心所在的直线斜率为

D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x﹣8y﹣25＝0

（多选）10．（5分）（2020·山东模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是（　　）

A．E为PA的中点

B．PB与CD所成的角为

C．BD⊥平面PAC

D．三棱锥C﹣BDE与四棱锥P﹣ABCD的体积之比等于1：4

（多选）11．（5分）（2021秋·沙坪坝区校级期末）已知数列{a_n}为等差数列，其前n项和为S_n，且2a₁+4a₃＝S₇，则以下结论正确的有（　　）

A．a₁₄＝0 B．S₁₄最小 C．S₁₁＝S₁₆ D．S₂₇＝0

（多选）12．（5分）（2021·全国四模）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，则下列说法正确的是（　　）

A．双曲线C的渐近线方程为y＝±2x

B．双曲线C的方程为

C．k₁k₂为定值

D．存在点P，使得k₁+k₂＝2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）（2021秋·陈仓区期末）设直线l₁：ax+3y+12＝0，直线l₂：x+（a﹣2）y+4＝0．当a＝　   　时，l₁⊥l₂．

14．（5分）（2020秋·宁阳县校级期末）已知向量（1，1，0），（﹣1，0，2），且k与2的夹角为钝角，则实数k的取值范围为　   　．

15．（5分）（2021秋·海拉尔区校级期末）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为　   　．

16．（5分）（2020秋·宁阳县校级期末）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里：驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：需　   　日相逢．

四、填空题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）（2021秋·新化县期末）已知直线l过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的．

（1）求直线l的方程；

（2）若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离是3，求直线m的方程．

18．（12分）（2021秋·鼓楼区校级期末）已知圆C的圆心在直线y＝﹣2x上，且过点（2，﹣1），（0，﹣3）．

（1）求圆C的方程；

（2）已知直线l经过原点，且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．

19．（12分）（2020秋·宁阳县校级期末）在①S₄＝20，②S₃＝2a₃，③3a₃﹣a₄＝b₂，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．

问题：已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，{b_n}是各项均为正数的等比数列，a₁＝b₄，_____，b₂＝8，b₁﹣3b₃＝4是否存在正整数k，使得数列的前k项和？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由．

20．（12分）（2018·新课标Ⅱ）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．

（1）证明：PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．

21．（12分）（2020秋·宁阳县校级期末）我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为a_n万平方公里．

（1）求第n年绿洲面积a_n与上一年绿洲面积a_n﹣1（n≥2）的关系；

（2）判断是否是等比数列，并说明理由；

（3）至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（lg2＝0.3010）

22．（12分）（2020秋·宁阳县校级期末）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设动直线l过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A，B两点．在x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．