直线与圆的方程问题单独考查的次数较少,多作为条件结合圆锥曲线进行综合命题,直线与圆的位置关系为高考命题的热点,需重点关注,此类试题难度中等偏下,多在选择题或填空题中出现.
圆锥曲线仍为高考考查的热点,一般为“一大一小”的形式,小题多考查圆锥曲线的标准方程与简单性质,解答题作为压轴题考查直线与圆锥曲线的位置关系、定点、定值、范围、探索性问题,难度较大.
1.(选修21P46例4改编)如图,A、B是椭圆C长轴上的两个顶点,M是C上一点,∠MBA=45°,tan∠MAB=,则椭圆的离心率为( )A. B.
C. D.
D [解析] 以AB所在的直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系(图略),可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).
则直线MA,MB的方程分别为y=(x+a),y=-x+a.
联立解得M的坐标为,
所以+=1,化简得a2=3b2=3(a2-c2),
所以=,所以=.
2.(选修21P69例4改编)过抛物线y2=8x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,与抛物线准线交于C点,若B是AC的中点,则|AB|=( )
A.8 B.9
C.10 D.12
B [解析] 如图,设A,B在准线上的射影分别为D,E,且设AB=BC=m,直线l的倾斜角为α.
则|BE|=m|cos α|,
所以|AD|=|AF|=|AB|-|BF|=|AB|-|BE|=m(1-|cosα|),
所以|cos α|==.
解得|cos α|=.
由抛物线焦点弦长公式|AB|=得
|AB|==9.故选B.
或:由|cos α|=得tan α=±2.
所以直线l的方程为y=±2(x-2),代入y2=8x得
8(x2-4x+4)=8x,即x2-5x+4=0.
所以xA+xB=5,
则|AB|=xA+xB+4=9.故选B.
3.(选修21P59例5改编)双曲线-=1上任一点P到点A(5,0)的距离与到直线5x-16=0的距离之比为( )
A. B.
C. D.
B [解析] 法一:取P(4,0),则|PA|=1,P到直线x=的距离d==,
所以所求的比值为=.
法二:设P(x0,y0),则-=1,即y=(x-16),
所以==
==.故选B.
4.(选修21P49习题2.2A组T6改编)已知椭圆G:+=1(a>b>0)在y轴上的一个顶点为M,两个焦点分别是F1,F2,∠F1MF2=120°,△MF1F2的面积为.
(1)求椭圆G的方程;
(2)过椭圆G长轴上的点P(t,0)的直线l与圆O:x2+y2=1相切于点Q(Q与P不重合),交椭圆G于A,B两点.若|AQ|=|BP|,求实数t的值.
[解](1)由椭圆性质,知|MF2|=a,
于是c=asin 60°=a,b=acos 60°=a.
所以△MF1F2的面积S=·(2c)·b=·(a)·=,
解得a=2,b=1.
所以椭圆G的方程为+y2=1.
(2)显然,直线l与y轴不平行,
可设其方程为y=k(x-t).
由于直线l与圆O相切,则圆心O到l的距离d==1,即k2t2=k2+1.①
联立
化简得(1+4k2)x2-8tk2x+4(t2k2-1)=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),有x1+x2=.
设Q(x0,y0),有,解得x0=.
由已知可得,线段AB,PQ中点重合,即有x1+x2=t+x0.
因此=t+,化简得k2=,
将其代入①式,可得t=±.
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