不等式作为高考命题热点内容之一,多以选择题、填空题的形式进行考查,直接考查时主要是简单的线性规划问题,关于不等式性质的应用、不等式的解法以及基本不等式的应用,主要体现在其工具作用上.
题目多出现在第8~9或第13~15题的位置上,难度中等,但命题的模式比较固定,只要平时多加练习得分不难.
若不等式与函数、导数、数列等其他知识交汇综合命题,难度较大,多出现在压轴题的位置.
1.(必修5P91练习T1改编)实数x,y满足且z=2x+y的最大值是最小值的4倍,则a的值是( )
A. B.
C. D.
B [解析] 在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示,当目标函数z=2x+y经过可行域中的点B(1,1)时有最大值3,当目标函数z=2x+y经过可行域中的点A(a,a)时有最小值3a,由3=4×3a,得a=.
2.(必修5 P93习题3.3B组T1改编)设实数x,y满足条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则+的最小值为( )
A.2 B.3
C.4 D.6
C [解析] 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示,当直线z=ax+by(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12,即2a+3b=6,则+=+=2++≥4,当且仅当=,即,时取等号.故选C.
3.(必修1P82复习参考题A组T8改编)函数f(x)=loga(a>0且a≠1)的定义域为________.
[解析] 由题意得>0,即<0,所以-1<x<1.
所以f(x)的定义域为(-1,1).
[答案] (-1,1)
4.(必修5P93习题3.3A组T4改编)某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按40个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共120台,且冰箱至少生产20台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表:
家电名称
空调器
彩电
冰箱
工时
产值/千元
4
3
2
则最高产值是________千元.
[解析] 设每周生产空调器x台、彩电y台,则生产冰箱120-x-y台,产值为z.
目标函数为z=4x+3y+2(120-x-y)
=2x+y+240,
所以,题目中包含的限制条件为
即
可行域如图.
解方程组
得点M的坐标为(10,90),所以zmax=2×10+90+240=350.
[答案] 350
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