拓扑学是纯数学的重要分支，在物理学中有很多应用，比如晶体的拓扑缺陷、二维体系的拓扑相变、量子霍尔效应的拓扑诠释等等。2016年，诺贝尔物理学奖就被授予给在这些方面做出原始创新的三位理论学家。2005年前后，在一系列的理论工作中，凝聚态物理学家们进一步认识到，对称性和拓扑学的概念结合起来可以带来新的物理。具体来说，人们在理论上证明，二维或三维的绝缘体（或半导体）中，如果具有时间反演不变性（也就是要求没有磁性，也没有外加磁场），那么存在一个新的“拓扑不变量”。这个新的量子数体现了系统中所有电子波函数的整体性质，当这个量子数不为零时，该绝缘体（或半导体）就有了非平凡的拓扑性质，被称为“拓扑绝缘体”。拓扑绝缘体发现没多久，人们就意识到，“时间反演不变性能够带来新的拓扑不变量”这一事实，不过是一大类普遍现象的冰山一角：对于几乎任何常见的对称性，比如晶体中的平移、镜面反射、旋转……都有可能存在其对应的新的拓扑不变量。寻找自然界中新的拓扑不变量，以及具备了这些拓扑不变量的材料，是过去十几年中凝聚态物理研究中的热点问题。
认识到电子的波函数可能具有某种特殊的拓扑结构，这固然是物理理论的一大进展，但是跟我们的实际生活有多大联系呢？一般认为，拓扑材料的边界态具有“背散射通道禁闭”等特点，可以用来制作超低能耗的电子元件；有人在利用拓扑材料边界态电子的“动量-自旋锁合”的特点设计自旋电子器件；还有人设想利用拓扑超导体边界的“马约拉那零模式”来设计量子比特等等……因此，研究拓扑材料，或者说具有非零的拓扑不变量的材料，具有基础科学和应用技术的双重意义。
要研究拓扑材料，第一步就是要将它们从浩如烟海的化合物中寻找出来。究竟具有什么样的化学式，拥有哪样的晶体结构的材料才会有非零的拓扑不变量呢？这个问题长期困扰着领域内的科学家。从原理上讲，拓扑不变量的信息已经包含在了所有价带的电子波函数中，而后者可以用第一性原理计算的方法得到。但在实际操作中，由于某些拓扑不变量的表达式非常繁难，此类计算需要具有深厚材料物理和拓扑物理学背景的专家，同时也会耗费大量的时间。事实上，每一类新的拓扑材料的成功预言，都在领域内引起了广泛关注。在“艰难搜索”拓扑材料的过程中，多数科学家在直觉上认为拓扑性质是在自然界中是罕见的，需要构成原子的外层电子轨道、晶体结构、自旋轨道耦合等种种因素的巧妙平衡。
2017年，“拓扑量子化学”【2】和“对称性指标理论”【3】的提出，让人们看到了在“土法炼钢”方法之外寻找拓扑材料可能性。这两项工作表明，关于一个能带系统的拓扑不变量的信息，有一大部分其实已经蕴含于在高对称动量点的价带电子波函数的对称性之中；而后者——我们称为能带的对称性数据，人们知道是可以通过全自动的方法计算得到的。2017年底，中科院物理所的研究小组，在上述工作的基础上更进一步，得到了从对称性数据到所有拓扑不变量的完整对应【4，5】。简单来说，拓扑材料按不同的拓扑不变量的取值有着进一步的分类；而只有这些更细致的分类，才能表达材料全部的拓扑性质。根据物理所研究组的新理论，不仅可以判断一个材料是否具有拓扑性质，还能指出具备（不具备）哪些拓扑性质。该研究组将此成果称为“拓扑词典”，其中对称性数据是“词”，拓扑不变量的取值是“义”。根据这本“词典”，人们只需计算出任何材料的对称性数据，就可以查出它的拓扑不变量来。
图1： 知名的一些拓扑材料。（a）量子反常霍尔效应态，也叫陈绝缘体。其特点是霍尔电导的值为e2/h的整数倍，同时边界上有一个或数个单向行走的边界态，它们被称为手性边界态。量子反常霍尔效应在磁性原子掺杂的三硒化二铋薄膜中的发现，引起了国际学术界的轰动，该系列成果还荣获了2018年度国家自然科学一等奖。（b）外尔半金属。其特点是材料体内的费米面由一系列“外尔点”（红色和蓝色的点）组成，每个外尔点都是贝里曲率的奇异点，可以带来“量子反常”、“表面费米弧”等物理效应。外尔半金属在砷化钽体系中的理论、实验发现，被美国物理学会评选为125年来该学会旗下杂志发表的49项重要成果之一。
研究内容
在“词典”出版后的拓扑材料研究领域可以说是“山雨欲来风满楼”，接下来需要做的事情已经再显然不过了：根据新的理论，设计一套全自动判别拓扑材料并计算拓扑不变量的算法，然后用它来以全自动的方式寻找新的拓扑材料。2018年年初，方辰研究员与翁红明研究员、方忠研究员，以及博士研究生张田田、蒋毅、宋志达（现普林斯顿大学博士后）组成了研究团队，设计出了自动计算材料拓扑性质的全流程。在这套流程中，通过一系列的逻辑判断，我们给了每一种材料一个“拓扑标签”。这个标签是以下8个之中的一个：“高对称点半金属”、“高对称线半金属”、“一般动量点半金属”、“拓扑绝缘体”、“拓扑晶体绝缘体”、“磁性材料”、“普通金属”和“普通绝缘体”。其中，前五个标签表示该材料是拓扑材料，后三类为非拓扑材料（或者叫无法判别其拓扑性质的材料）。对于每类拓扑材料他们又进行了细分，就不在这里详细写出了。研究小组扫描了共计约40000种实验中合成过的无机晶体材料，并发现其中约8000种是拓扑材料——这与之前人们认为拓扑材料是特殊的和稀有的直觉大相径庭。这8000余种材料，不仅包括了几乎所有前人用老方法在十几年间找到的拓扑材料，还包括了大量的新拓扑材料，这些材料的拓扑性质之前从未被研究过。
图2：文献【1】中所使用的自动计算任意晶体材料的自动化流程。其中棱形的绿色模块表示逻辑判断，而平行四边形的橙色模块则代表输出结果。根据这一流程，对于任何一个材料，我们都会得到一个确定的“标签”，这个标签告诉我们这一材料是否属于拓扑材料，以及属于哪一种拓扑材料。这里对于任何材料，文献【1】都分别考虑了有自旋轨道耦合和无自旋轨道耦合两种设置，这是与文献【7，8】有所区别之处。
如何将这些结果呈现给科学界呢？对于每一种拓扑材料，我们不仅需要给出化学式、原子结构、对称性指标、拓扑分类等关键信息，还应该给出计算出的电子态密度以及能带结构等参考信息。物理所的研究组与中科院计算机网络信息中心的黄荷副研究员和硕士研究生贺雨晴合作，将所有这些信息做成了可以搜索的、有交互界面的数据库。这是世界上首个包含了完整拓扑性质的材料数据库，作者们将它命名为“拓扑电子材料目录”。有了这份目录，任何人都可以查出他/她所感兴趣的材料是否具有拓扑性质，以及具有哪些拓扑性质。
物理所和计算机网络信息中心的研究小组，以《拓扑电子材料目录》为题目共同撰文，详述了计算材料拓扑性质的算法以及用该算法所得到的拓扑材料数据库。文章于2018年7月23日公布在预印本平台arXiv，数据库同日开放（http://materiae.iphy.ac.cn）。一周之后，《自然》发表新闻文章【6】，报道了上述工作和数据库，并采访了数据库的第一批用户。其中，来自德国马普所的固态化学物理所的凝聚态物理学家Chandra Shekhar说：“你只需输入材料的组分名称，点击一下，就可以知道这种材料是否存在拓扑性质。我觉得这真是太棒了。”《拓扑电子材料目录》后经同行评议审稿，于今天在线发表在国际学术刊物《自然》网站。
“英雄所见略同”，另有两个研究小组，也在同一天、于同一刊物上发表了他们的独立研究成果【7，8】。其中一个小组是来自美国的普林斯顿大学、西班牙巴斯克大学和德国马克斯-普朗克研究所的科学家，另一小组是来自南京大学和美国哈佛大学的科学家。他们两个小组的工作内容，同样是通过计算能带高对称点的对称性数据从而得到材料的拓扑性质，方法和物理所研究小组采用的方法一致，三个研究组得到的结果也彼此相洽、相互印证。
图3：中科院物理所-中科院计算机网络中心合作建立的在线数据库，在元素周期表中点选材料，在左边输入（可选）筛选条件，然后按下搜索键即可得到含有这些元素的所有拓扑材料的列表。该网站的网址为http://materiae.iphy.ac.cn。
总结和展望
“拓扑电子材料目录”的问世，代表了拓扑材料这一领域开始从“寻找新材料”转向“研究新材料”。这8000余种拓扑材料像是给物理学家、材料学家打开了无数的门，从每一扇门看过去，很多本以为熟悉的材料有了新的研究角度，而许多之前被忽视的材料也出现了新的闪光点。
中国科学院的于渌院士认为这一系列工作使拓扑材料的预言从“手工式探索”变成“穷尽式列举（exhaustive enumeration）”, 是跨越性进步，会产生长远的影响。
【1】Zhang, T. et al. Catalogue of Topological Electronic Materials. Nature (advance online publication), https://doi.org/10.1038/s41586-019-0944-6 (2019)
【2】Bradlyn, B., et al. Topological quantum chemistry. Nature, 547(7663), 298 (2017)
【3】Po, H. C., Vishwanath, A., & Watanabe, H. Symmetry-based indicators of band topology in the 230 space groups. Nature Communications, 8(1), 50 (2017)
【4】Song, Z., Zhang, T., Fang, Z., & Fang, C. Quantitative mappings between symmetry and topology in solids. Nature communications, 9(1), 3530 (2018)
【5】Song, Z., Zhang, T., & Fang, C. Diagnosis for Nonmagnetic Topological Semimetals in the Absence of Spin-Orbital Coupling. Physical Review X, 8(3), 031069 (2018)
【6】Elizabeth Gibney, Trove of exotic matter thrills physicists. Nature, 560, 151 (2018)
【7】Vergniory, M. G., Elcoro, L., Felser, C., Bernevig, B. A. &Wang. Z. The (High Quality) Topological Materials In The World. Preprint at https://arxiv.org/abs/1807.10271 (to appear in Nature)
【8】Tang, F., Po, H. C., Vishwanath, A. & Wan, X. Towards ideal topological materials: Comprehensive database searches using symmetry indicators. Preprint at https://arxiv.org/abs/1807.09744 (to appear in Nature)
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