关于“平移与旋转”的对话
      作者:史宁中 马云鹏 孔凡哲    来源:《小学数学教师》2006年第1、2期           

 

      中小学数学课程为什么加入“平移与旋转”内容？这部分内容的作用和价值体现在哪些方面？如何看待其数学本质？在课程实施过程中，如何把握这些内容及其要求？针对这些问题，东北师范大学有关学者进行了专题讨论和访谈，本文就是这次交谈的实录，从中可以窥见所提问题的答案。
                 
              话题1 为什么要增加平移旋转，其意义和作用体现在哪些方面？
马云鹏（以下简称为M）：在本次课程改革中，几何的变化比较大，原来小学的几何主要涉及图形的认识及其计算，如长方形、正方形、长方体、正方体及其面积、周长、体积的计算，其它的内容比较少。
      在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课程标准》）研制前后，逐渐发现小学几何的内容结构有许多问题。仔细分析，我们渐渐认识到，除传统的图形认识及其计算之外，还有一些东西很重要的：
      首先是位置，知道方位，知道路线。比如说，有这样一个最简单的事情：你能不能描述一下从东北师大到火车站应该怎么走？有的人说得非常清楚，照他说的就能走到，而有的人就讲不清楚。这种线路、方位的内容，原来只是东、南、西、北，现在加上东北、东南、西北、西南，加上方位、线路图，就构成“位置”的课程内容。
      其次，就是一些基本图形的变化。以往的中小学数学关于图形的位置关系只涉及轴对称，非常简单。而这次改革增加了对平移旋转的内容，一个图形经过平移之后发生了什么变化？旋转呢？
      另一个内容就是“从不同方向看”，即从不同角度来观察一个事物、图形，比如雕塑，从正面看是什么样？从侧面看又是什么样？从上面呢？从下面呢？这有点像以往《画法几何》上所学的三视图那样，但又不是那样专业，而是以生活化的方式呈现。
      将这样一些东西写进《课程标准》中，是希望小学阶段的几何内容更丰富。学生能否接受这些内容？在小学的两个学段，学生应当学习什么？初中能够接受到什么程度？其间，我们参考了国外的课程标准、案例和教科书，更期望数学教学实验可以验证这些内容的可行性。
     如何看待这些内容的教育价值？所蕴含的数学价值是什么？ 
      对学生的发展又有什么作用？对此，我们一直希望从数学的角度、从它的意义和价值、从学生的学习角度，进行认真、细致的探索。 
     当前，在义务教育课程标准数学实验教科书中，平移、旋转、方位等内容都有涉及。尽管各个版本的教材都编入了这些内容，但是，对于上面所提得问题，大家未必都清楚。
      请史校长谈一谈这些方面的问题。
     史宁中（以下简称为S）：对于你刚才所说的线路图，关键知道三件事就可以：到那儿开始拐，怎样拐，拐完之后走多远。其实，这件事和后面有必然的联系，一是旋转，一是平移。
     M：它和旋转、平移有什么关系呢？
     S：它就是旋转、平移。因为拐弯就是个旋转，走多远就是平移，到这个地方再拐弯，它实质上是旋转与平移的叠加，是将二者放在一齐。
     旋转、平移是几何变换最简单的形式，就像你刚才说的路线图一样。现实生活中的位移，本质上都是平移和旋转的多次重复。
     在这里，有一个东西是最重要的——参照系。什么叫做变化？有这个参照系以后就好描述，相对于参照系来说，这个位置改变了，也就是，它的前后两个位置的方向、距离不同，它就变化了，否则就没变化。
     爱因斯坦相对论中最重要的、最根本的就是参照系。爱因斯坦研究什么叫同时，他用不同的参照系，那么，同时的概念就不一样。所以说，要研究旋转、平移必须有参照系。
     M：参照系是否可以是一个点、一条线？
     S：在本质上都可以。如果参照系是一个点的话，它能不能看出旋转、平移呢？物体必须有几个点？如果这个点以极坐标的形式出现的话，那就好办了，它不仅能够知道它变化前后的角度，而且还能知道变化的远近。在这里，只要有一个点，就能看出来它变了，但看不出是怎么变的。
     我们可以仔细研究一下坐标系，在本质上讲，在平面上，因为这个东西最起码是二维以上的才能旋转，所以，参照系一般至少是二维的。一维的、要不就是直线，你那个点是零维的，零维的不行。如果在二维看，必须是坐标系，最好是直角坐标系，才能看得更清楚。这样的话，旋转、平移就是一种简单的变换了。
               
     话题2 如何理解平移、旋转和轴对称的数学含义？
     S：如此说来，平移、旋转最简单、最根本的核心是什么呢？是刚体变换。刚体变换是什么意思呢？就是说，这种变换不改变物体的任何两点之间的距离。比如，如果有两个点的话，平移、旋转之后，这两个点之间的距离不变。如果有三个点的话，任意两个点的距离保持不变，因而也保持了点之间构成的线段的夹角保持不变。满足这样的变换只有旋转、平移和反射，如果用坐标变换的话，是正交变换。正交变换的特点是什么呢？正交变换对应的矩阵都是正交矩阵，也就是矩阵与转置矩阵的乘积为单位矩阵。
      M：那么，空间中的物体旋转和平移呢？
      S：也是刚体变换，三维的用平面度量是不够的，必须用三维来度量。
     孔凡哲（以下简称为K）：那么，与平移、旋转相比，反射有什么特殊的性质吗？
      S：平移、旋转并不改变物体上点与点之间的左右顺序，而反射变换则不同。反射变换虽然也是正交变换，其对应的正交矩阵是但是，物体的反射变换在平面内是无法实现的，你可以想象，只有借助空间中翻转1800，才能实现。
               
    话题3：如何看待作为小学数学课程内容的平移、旋转与轴对称？
    M：如果我们开始不讲直角坐标系的话，如何让小学生懂得这一点呢？
     S：用方格纸代替参照系也可以，但必须有参照物，书中不写参照物，那就不叫变换。你凭什么说变换？变换是这样，必须有相对运动，你让坐标系变动、而物体不动是可以的，如果你让参照系不动、而物体变动也行，事实上，参照系的变动也就等于物体的变动，二者是相互的。
     K：有时候，参照系可以在现实世界作为背景，假如我们以桌面作为背景，桌面不动，我从这个地方转到另一个地方。
      S：假设小孩坐在火车上，他看见对面火车开了，往往会说自己坐的火车开动了。如果这两辆火车以同样的速度同时开，就不会发生这样的情况，参照系跟着变了，它就不变了。所以，参照系在纸上是不动，你感觉到物体在变。这种理解是非常重要的，这是一个辩证的关系。
      M：对小学生来说，是不是也要让他从直观角度理解这种变换需要有参照系呢？
     S：应当从直观的角度理解。事实上，旋转变换一共有两个要点：旋转轴（旋转中心）和角度。位置变化反而较难，因为你有参照系了，有了参照系的时候，斜着变较难理解。
       M：斜着变，它是不是应该都按水平、垂直的方向变化呢？现在的教科书大都没有直接写斜着变，你要讲斜着变，就先往左移动，然后再往上移动。
      S：那也行，你先把参照系定好之后，对一个变换来说，你必须把握两点：如果这个参照系是直角坐标系的话，那么，你先按它的x轴进行变换，然后再按它的y轴进行变换，可以达到同样的效果。这个变换实质上相当于沿第一条直角边移动，再沿第二条直角边移动。
     M：小学对于平移的处理方式通常是走两个直角边而不是直接走斜边。
      S：对小孩子怎么说呢？
     K：只要确定一个方向就行了，确定方向和平移距离就行了，这是两个要点。只要给我规定了方向，不一定沿着水平方向和竖直方向，我就规定说让你沿着这个方向走，我不考虑你原来参照系是什么样，我只要规定方向和规定平移多少距离就行。
      S：那什么叫平移的方向？
      K：在初中，通常是这样描述的：将一个物体沿着同一个方向移动相同的距离，就叫平移。
      S：一个三角形，你把这个三角形平移到这，你的参照系是什么？如果没有设定的参照系，有许多事情是说不清的。
              M：把图形作为一个整体，比如说一个三角形，我在方格纸上移动两个格，它就相当于把三角形上所有的点都按照同一个方向移动了相同的距离…
              S：这话矛盾了，一个物体是不是？如何理解同一个物体？什么叫按照同样的方向？
              M：也就是将它整体移动。
              S：这句话本身是矛盾的，一个物体只能按一个方向。事实上，一方面，你是按一个物体移动，此时只有一个方向；另一方面，你又把物体上的点看作是不同的，这些点按同样的方向移动。
              K：应该说，按相同的方向。
              S：怎么叫相同的方向？这种表达其含义是模糊的。一个物体的同一次运动只能一个方向。
              K：有了参照系，一切就好表述了。在平面上，参照系实际上可以是两条互相垂直的坐标轴，也可以是由极点、极角和距离构成的极坐标系。而在直线上，数轴可以构成参照系。在三维空间中，参照系可以是由横轴、纵轴和竖轴构成的坐标系。
              M：方格纸也可以看作小学的一个参照系。当你把三角形画在一个方格纸上进行平移时，通常是这样思考的：三角形有三个点，把一个点向右移动两个格，第二个点也同时向右移动两个格，第三个点也同时向右移动两个格。这个三角形向右移动两个格，其实相当于所有的点都平移两个格。因为线段的两个端点之间的平移是同样的，这就相当于把三条线段同时平移了两个格。
              S：其实，在平面上，平移两个点就够了，无论这个图形是什么图形。任何一个物体只要有两个点，它们俩平行地走同样的距离，也就是，它拉动了这个物体，这就平移了。
              K：在移动过程中，要保证它形状不变。
              M：仅仅固定一个点，可能形成旋转。
              K：如何看待平移、旋转与平面几何的关系呢？一提平移旋转，许多人往往联想起变换几何。
              S：我的理解是，平面几何与平移旋转无关，为什么呢？平面几何所研究的东西，总体上是固定的，是没有参照系的。直到笛卡尔时期才可能产生参照系这种概念。虽然人们很早很早就研究圆锥曲线，但那时没有方程，光有图形、性质，也没有平移和旋转。
              
              话题4：如何理解平移、旋转对学生数学学习的作用和价值？
              M：解决平移、旋转等等这样问题，其意义是什么？学习这类问题的价值是什么?有没有很好的例子？
              S：我想，最起码就是我刚才说的路线问题。
              M：您是说路线问题与平移旋转有关？在《课程标准》设计时，没有将路线与平移、旋转联系起来。
              K：是的，二者的确没有结合起来。
              M：我们原来设计的路线问题只是涉及方位，使学生认识方位而已。
              S：这是现在的数学与过去的数学最大的差异。过去的数学没有量的概念，只有关系的概念，从这儿能走到那儿。我现在假设量的概念，走到这儿有多远。这样的话就可以判断这几条路走的远近。平移、旋转是最重要的，是图形最根本的处理手段和方法。
              M：原来没有这个，学生的数学学得也很好，现在为什么要加上这个内容呢？
              K：我想，这个意义应该可以从两个角度来谈：一个从数学内容去谈；一个是从生活角度谈。从生活角度谈，平移、旋转是现实生活中普遍存在的现象。从数学角度看，中学的很多几何内容可以利用平移、旋转的角度去思考和分析，而且，这样做往往会使不少难题豁然开朗。现在就是搞不清楚，平移、旋转对几何之外的其它领域是不是也有价值？
              S：平移、旋转对大学数学也是非常有用的。如果坐标系在这儿，这儿有圆，假如直径是2，圆的方程应该是（x-a）2+（y-b）2=1，我这么平移一下，把圆心挪过去的话，就变成x2+y2=1，这时，平移就起很大作用，标准化了。
              你想一想，对于一个抛物线方程来说，如果顶点不在坐标轴上，对称轴又不平行于坐标轴，这个表达式将是非常复杂的。高中数学所学的配方法，其实质就是一个平移、旋转，它使得这个方程变得简单了、标准化了。通常，抛物线方程都要搞配方法，椭圆方程、双曲线方程也是如此，否则，这个方程要表示出来将是非常复杂的。
              M：现在的问题是，如何让小学生和老师觉得它是重要的？我现在也很难说服他们这个东西是重要的，刚才你讲的线路图是很重要的。另外书上有一些涉及图案的简单图案，比如半圆，通过平移、旋转，我可以组成各式各样不同的图案。
              S：所以，你要与现实生活联系起来。
              
              话题5：如何看待生活中的平移、旋转？
              K：如何看待生活中的平移、旋转、轴对称？
              S：其实你把这个东西放在那儿，调试它的位置使其看着合适，就是平移和旋转。如挂照片挂镜框，歪了就需要旋转，没放中间就需要平移。
              K：那就是说，平移、旋转给人们提供了一种审视社会、处理社会问题的方式和渠道。
              S：此外，这些知识的应用价值十分突出，装修房子等大量事情中都要用到平移、旋转…
              K：包括平时的行驶中的汽车车身是平移，轮子在旋转；飞机的飞行属于空间中的平移。但从数学内部来说这属于刚体运动。还有一种变换属于拓扑的。
              M：把线路图和平移旋转联系起来，不光是方向、位置，以前仅仅局限于方向和位置。我们在这里讨论的内容实际上包含两块：一是几何的位置变换，一是图形的平移旋转。如此这样，平移旋转与图形位置也有了关系，位置、方位与平移、旋转也有了关系。
              K：这样就可以用平移旋转来解释方位，只不过要涉及空间中的旋转了，但这些内容属于生活常识。
              S：平移的内容还可以跟学英语联系起来，当年罗马皇帝搞密码，在一句话中，他把所有的字母都按照一定的规律平移，比如说，NO这个词，把字母表中的N、O都向后平移三个位置，然后用平移后的字母组成一个新词，谁都不认识，一但你将平移的规律告诉对方，按照相反的方向平移相同的距离，信息很快被还原，这叫罗马密码。
              M：这个例子很好，很有趣味性。
              S：现在的密码本质上也是如此。不仅如此，电视传递、图形、信号传递等其实也是同样的道理。把所有图形的照片都平移一下拼成一个新图，这个新图什么也不是，我在计算机上记的是这个东西，谁也看不懂，这时再搞一个解码器，又移回来了，就能看了，就是这样的平移。也有用旋转的。让学生动手，很有趣味性。比如，一个图，你把它分成标号为1、2、3、4的四部分，分别按照不同的规律变动四部分（如图所示），第一步是平移，第二步是旋转，其结果很难看出是什么，一旦知道了平移、旋转的规律，就可以将图像还原。这就是现代信息传递的加密和解码。
              M：小学生低学段就可以理解这样的内容。如，在计算机上，教师指导小学生画图，并利用平移、旋转自创一种“加密”方法，传递给同伴，如果不解码，谁都不认识，然后让他破解密码。为什么小孩破码破得这么明白？其实，小孩的直觉能力很强。
              S：根据这个思路，你能想出很多，如，我这里有几幅图，告诉你它是经过一种已知的平移变换而得到的，请你给出原来的基本图形。小学生对做这类事情很感兴趣。然后，再将原来的基本图形换成一个非常有意思的图形，非常有意义的一句话。这里实质上就是告诉孩子矩阵变换，这有点像阿贝尔群，你告诉孩子这个图是怎么变的，好比这么走1，0，1，0变成0，1，0，1，它最后就变成一个矩阵的群。你可以明确设置变换的规则，因为最简单的就是大伙都凭着推测走，甚至你可以变成立体的，走几格，好比四个格，原来1，0的图变成这样的图，然后再变回去。
              M：这样的问题和训练更有意思。目前，新课程教科书通常是让学生做单调、枯燥的事情：给他一个方格，方格里画一个三角形，把这个三角形向右移动两个格，再向上移两个格。其实，学生并不愿做这类事情。
              S：其实，对于这些枯燥的训练，可以改造成有趣的问题：你可以把三角形打乱，打乱再回到原来，这就是一个变换。打乱三角形，规则打乱了。比如，你可以利用平移的手段，把三角形切成四块，每一块都平移一定的距离，但平移的距离不一样。这块平移1个单位，那块平移2个单位，画出的东西就不一样了，然后我告诉你平移的规则，学生肯定希望知道原来是什么图形。
              K：这种事情富有挑战性，符合儿童的数学认知规律。
              M：小孩肯定愿意做这类事情。
              K：可以将这类内容放在小学四、五年级，学生肯定愿意做。
              S：这个年龄段的小孩非常聪明，你一旦搞出这个游戏，非常有趣。而且，这样的东西能够诱发他的发明创造，说不准，以后小孩给小孩写信全用这个。
              
              话题6：如何在小学课程中呈现平移、旋转等图形变换内容呢？
              K：平移、旋转如果作为中小学内容出现，您觉得它的呈现形式应该是怎样的？希望孩子们知道什么东西？概念？还是知道一种方法、思想？
              S：我认为，学习这些内容，特别是在小学阶段，实质上就是要形成一种直观的把握，产生兴趣，也就是对图形的一种感悟。我用感悟这个词，不是感觉，它含有悟性，包含学习者主动地“悟”的成分。事实上，你就给孩子有条理地去悟，平移、旋转就是最简单的两种变换，而且这两种变换都是刚体变换。刚体变换是非常重要的，整个过去的设计如房屋设计等等都是刚体设计，刚体设计就是要保证受力相等，进而保持受力平衡。
              M：在小学，困难可能就在于，有些概念不能讲，还得让学生去知道。您说的这种感悟，用什么东西去感悟？我的理解就是，类似这样一些问题可以让他去做，在做的过程中去感悟。
              S：也就是要告诉他，图形是可以变化的，平移、旋转就是变化的最基本形式。一般的孩子对相似变换往往不好理解。
              M：刚体变换应该容易理解，经过变换后，直线还是直线，角还是角，这和他生活中的经验相吻合，生活中绝大多数变化都是刚体变换。拓扑就不好理解，其主要原因就是平时很少看到。
              K：而相似则是从整体上把握图形的特征…
              S：对此，你可以进一步问孩子，什么叫一样？两个东西一样，两个人一样，为什么是一样的？一样有非常广的含义：首先他能辨别出这个是人，而不是狗，那就抓住了人的最根本最核心的特点，两个眼睛一个鼻子一个嘴是不是？不是，狗也是这样的。它这个轮廓就是人，其实，这个轮廓和这个轮廓它俩之间就是平移。管它高矮胖瘦都是人。如此，所谓两个图形一样，两样东西一样，就是说，经过平移、旋转它俩能够重合。在本质上说，是精确地一样。如果是近似一样，在图形中抓住最核心的点经过平移、旋转能够重合，不是整个图形重合，而是最关键的点重合，也可以叫一样。
              K：那就是说，按照平面上来讲，这两个图形不管怎么做，在不改变图形形状与大小的前提下，它放在一起能完全重合就是一样。实质上，也就是我们现在所说的合同变换。
              S：小孩那还有一个概念，对图形来说很重要，就是“象”。什么叫做“象”？“象”就是这样的：这两个图形的关键点变换之后，它们的点都是成比例扩大或缩小，也就是形状相同。
              长期以来，数学教学的最大毛病就在于，一开始就从概念出发，把前一段忽略了，我认为很重要的东西就是形成概念的过程。这种基于现实的原始的抽象过程比已经有了概念之后的抽象还重要，特别是小学阶段。
              这两个东西一样，是通过平移旋转等合同变换之后，形成的东西是一样的、等同的。为什么呢？这两个图形不管你怎么折腾，它俩都一样，那么，这个图形经过的所有变换就是平移、旋转和轴对称（反射）。
              M：在呈现平移、旋转、轴对称时，你说要事先有个规则再去变换，你是怎么思考的呢？
              S：比如，将一个三角形分割成四块，每一块的变换不一样，你希望学生拼出原来的图案，孩子一般都会做，你逐个试其可能性是有限的，你肯定能试着拼出来。经过平移、旋转、轴对称，就是四个地方你逐个试嘛，这四个东西每个都在这，你看有多少种情况？每个都可能旋转三次，那么一算总共有多少种情况？如果你切成两块，情况会简单一些。我说的意思是，大不了我逐个试嘛。反正按这个规则，我总能试出来。
              K：其实，他拼也能拼出很好看的图案，比如，拿一个正三角形把它切成两块，平移距离不一样，就像拼积木。
              S：小孩拼积木往往是乱猜。在这里，从这个图形到那个图形要有个规则，二者就差这一点，你把规则教给他，按照规则去拼，这就是二者所存在的数学思维的层次差别。
              M：你把规则教给他，然后可以做相反的，让他去猜规则。现在的小学老师教起来可能费劲，我想这还是有难度的。
              当然，对于这样的问题和情景，真没人这么想过，在研制《课程标准》时的讨论也好，编教材也好，都没这么琢磨过。
              
              话题7：如何增加小学数学教学的趣味性和现实性？
              M：在讨论圆柱体的教学时，想到一个非常好的例子：
              有一个牙膏公司，利润多年上不去，让人出点子，大家都想不出好点子，有一个小伙子说我有一个点子，就是把牙膏口的直径扩大一毫米。人们挤牙膏都习惯于挤那么长，一毫米看不怎么出来，用的多了，卖的就好了。
              这个题目其实就是算圆柱体的体积。小学数学中应该多创设一些类似的问题，小学生的数学学习往往喜欢从这样一些现实的问题入手。
              S：我说的例子正好和你的相反，围绕地球架一个二米高的电线杆子，那么用的电线比地面上铺用的电线长多少？假设地球是光滑的。那小孩非得以为长多了，实际上只长一点，增加4π米。这其实就是圆的周长。你问问小孩，他算出的结果与他想的大不一样。
              K：这是直觉欺骗了人。
              M：其实，你不知道地球的半径都行。
              S：你告诉他半径多大，小孩吓一跳。这有很多例子，这是学周长时候的一个好例子。
              其实，小学数学内容的一个重要方面在于趣味性和现实性。使小学生对数学学习感兴趣是很重要的。对教师来说，关键是讲课要把学生吸引住。其要点有二，一个是例子好，一个是老师会讲，把学生的兴趣调动起来。
              
              结语：
                  作为本次课程改革中增加的几何内容，平移旋转是需要人们关注和正确把握的重点内容之一。
                 
              无论是小学阶段还是初中阶段，《课程标准》都不要求从严格的几何变换定义出发来研究变换的性质，从而研究图形的性质，而是直观的理解轴对称、平移、旋转所产生了图形运动，认识图形在变换过程中所遵循的变化规律。
                 
              了解图形的变换，对学生认识丰富多彩的现实世界、形成初步的空间观念，以及对图形美的感受与欣赏都是十分重要的。通过运用平移、对称和旋转设计有趣的图案，画简单的对称图形，有利于学生对图形之间的关系有一些初步的了解，有利于丰富学生的空间观念。
                 
              在认识图形的基础上，小学阶段必须加强对平移、旋转（和轴对称等）的初步认识，使学生更全面地感知和体验周围的事物，认识和理解图形，逐步形成空间观念。
                 
              在当前，关注平移、旋转课程内容载体的现实化、情景化和事例的代表性，同时注意揭示其中所蕴含的数学含义，注意挖掘平移、旋转、轴对称、方位等的深刻内涵，以及彼此之间的关联，并在课程教学内容中加以恰当的体现，是深化小学几何课程内容改革的重要工作，也是《课程标准》修改所关注的重要问题。
              
              附：作者简介
              史宁中（1950-），男，江苏宜兴人，东北师范大学校长、数学课程与教学论博士生导师、统计与概率博士生导师、教授，理学博士，中国教育学会副会长。
              马云鹏（1954-），男，吉林人，东北师范大学教育科学学院院长、教授、博士生导师，全国小学数学教学专业委员会副理事长。
              孔凡哲（1965-），男，山东济宁人，东北师范大学教育科学学院教授、硕士生导师。