2018年05月28日今晚报《日知录》理发师悖论真正的矛盾

理发师悖论真正的矛盾

林君

廉作林刻

　　清晰、严谨的思维有助于我们表达自己的想法和说服他人，而逻辑是思维的规律。与逻辑有关的问题中，有一个非常著名的悖论——理发师悖论。你或许对这个悖论并不陌生，但你知道理发师悖论中真正的矛盾是什么吗？

　　理发师悖论由哲学家罗素在1903年提出，也称为罗素悖论。有一个理发师打广告，说：“我只给本城所有不给自己刮脸的人刮脸。”问题是：理发师能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”；如果他给自己刮脸，他就属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。

　　在理发师悖论的基础上，罗素构建了一个“集合”S：S由一切不是自身元素的集合组成。然后，罗素问：S是否属于S呢？根据“排中律”，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，某个元素或者属于该集合，或者不属于该集合。但对罗素提出的这个“集合”S是否属于S，却没有那么容易判断：如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。

　　理发师悖论的提出震惊了整个数学界。数学界曾认为“一切数学成果可建立在集合论的基础之上”，而理发师悖论的出现使这一在数学界引以为傲的结论被推翻。由此，引发了第三次数学危机。

　　直到1908年，策梅罗（Zermelo）提出第一个公理化集合论体系，后通过弗兰克尔（Fraenkel）的改进，形成了现在的ZF公理系统。在ZF公理系统中，集合都是纯集合，纯集合是由属于自身元素的集合组成的集合。所以，在ZF公理系统中，罗素悖论中的“集合”S是不存在的，因为罗素悖论中的“集合”S是由不属于自身的集合组成的。在数学家对集合论进行修补后，引入“类”的概念，罗素悖论中的S其实是一个“类”，而且是一个“真类”，“真类”由不属于自身元素的集合组成，但“真类”不是集合。因此，罗素悖论不能在康托尔朴素集合论的范围内得到解释。

　　在ZF公理化集合论中，我们可以用形式化的语言表示集合，如T={y|y=2n，其中n是自然数}。你或许会好奇：是否可以用形式化的语言描述“类”？遗憾的是，目前ZF公理集合论还没有将“类”这个概念用形式化的语言描述。

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