26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质
1．会用描点的方法画反比例函数的图象；(重点)
2．理解反比例函数图象的性质．(重点，难点)
一、情境导入
已知某面粉厂加工出了4000吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B市．则所需要的时间t(天)和每天运出的面粉总重量m(吨)之间有怎样的函数关系？你能在平面直角坐标系中画出这个图形吗？
二、合作探究
探究点一： 反比例函数的图象
【类型一】 反比例函数图象的画法
作函数y＝的图象．
解析：根据函数图象的画法，进行列表、描点、连线即可．
解：列表：
| x | －4 | －2 | －1 | 1 | 2 | 4 |
| y | －1 | －2 | －4 | 4 | 2 | 1 |
描点、连线：
方法总结：作图的一般步骤为：①列表；②描点；③连线；④注明函数解析式．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题
【类型二】 反比例函数与一次函数图象位置的确定
在同一坐标系中(水平方向是x轴)，函数y＝和y＝kx＋3的图象大致是( )
解析：A.由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx＋3的图象中k＞0且过点(0，3)一致，故A选项正确；B.由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx＋3的图象中k＞0且过点(0，3)矛盾，故B选项错误；C.由函数y＝的图象可知k＜0与y＝kx＋3的图象中k＜0且过点(0，3)矛盾，故C选项错误；D.由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx＋3的图象中k＜0且过点(0，3)矛盾，故D选项错误．故选A.
方法总结：解答此类问题时，通常先根据双曲线图象所在的象限确定k的符号，再确定一次函数的系数及经过的点是否也符合图案，如果符合，可能正确；如果不符合，一定错误．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第2题
【类型三】 实际问题中函数图象的确定
若按xL/min的速度向容积为20L的水池中注水，注满水池需ymin.则所需时间ymin与注水速度xL/min之间的函数关系用图象大致可表示为( )
解析：∵水池的容积为20L，∴xy＝20，∴y＝(x＞0)，故选B.
方法总结：解答此类问题要先根据题意列出反比例函数关系式，然后依据实际情况确定函数自变量的取值范围，从而确定函数图象．
【类型四】 反比例函数图象的对称性
若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝图象的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点坐标为( )
A．(2，－1) B．(1，－2)
C．(－2，－1) D．(－2，1)
解析：∵正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝的图象均关于原点对称，∴两函数的交点也关于原点对称．∵一个交点的坐标是(－1，2)，∴另一个交点的坐标是(1，－2)．故选B.
方法总结：反比例函数y＝(k≠0)的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴是一、三(或二、四)象限角平分线所在的直线，对称中心是坐标原点．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
探究点二：反比例函数的性质
【类型一】 根据解析式判定反比例函数的性质
已知反比例函数y＝－，下列结论不正确的是( )
A．图象必经过点(－1，2)
B．y随x的增大而增大
C．图象分布在第二、四象限
D．若x＞1，则－2＜y＜0
解析：A.(－1，2)满足函数解析式，则图象必经过点(－1，2)，命题正确；B.在第二、四象限内y随x的增大而增大，忽略了x的取值范围，命题错误；C.命题正确；D.根据y＝－的图象可知，在第四象限内命题正确．故选B.
方法总结：解答此类问题要熟记反比例函数图象的性质．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题
【类型二】 根据反比例函数的性质判定系数的取值范围
在反比例函数y＝的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的值可以是( )
A．－1 B．3 C．1 D．2
解析：∵反比例函数y＝的图象在每一条曲线上，y都随x的增大而减小，∴1－k＞0，解得k＜1.故选A.
方法总结：对于函数y＝，当k＞0时，其图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，熟记这些性质在解题时能事半功倍．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
三、板书设计
1．反比例函数的图象：双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形．
2．反比例函数的性质：
(1)当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；
(2)当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大．
通过引导学生自主探索反比例函数的性质，全班学生都能主动地观察与讨论，实现了在学习中让学生自己动手、主动探索、合作交流的目的．同时通过练习让学生理解“在每个象限内”这句话的必要性，体会数学的严谨性.
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