26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质
1.会用描点的方法画反比例函数的图象;(重点)
2.理解反比例函数图象的性质.(重点,难点)
一、情境导入
已知某面粉厂加工出了4000吨面粉,厂方决定把这些面粉全部运往B市.则所需要的时间t(天)和每天运出的面粉总重量m(吨)之间有怎样的函数关系?你能在平面直角坐标系中画出这个图形吗?
二、合作探究
探究点一: 反比例函数的图象
【类型一】 反比例函数图象的画法
解析:根据函数图象的画法,进行列表、描点、连线即可.
解:列表:
x | -4 | -2 | -1 | 1 | 2 | 4 |
y | -1 | -2 | -4 | 4 | 2 | 1 |
描点、连线:
方法总结:作图的一般步骤为:①列表;②描点;③连线;④注明函数解析式.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题
【类型二】 反比例函数与一次函数图象位置的确定
解析:A.由函数y=的图象可知k>0与y=kx+3的图象中k>0且过点(0,3)一致,故A选项正确;B.由函数y=的图象可知k>0与y=kx+3的图象中k>0且过点(0,3)矛盾,故B选项错误;C.由函数y=的图象可知k<0与y=kx+3的图象中k<0且过点(0,3)矛盾,故C选项错误;D.由函数y=的图象可知k>0与y=kx+3的图象中k<0且过点(0,3)矛盾,故D选项错误.故选A.
方法总结:解答此类问题时,通常先根据双曲线图象所在的象限确定k的符号,再确定一次函数的系数及经过的点是否也符合图案,如果符合,可能正确;如果不符合,一定错误.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第2题
【类型三】 实际问题中函数图象的确定
解析:∵水池的容积为20L,∴xy=20,∴y=(x>0),故选B.
方法总结:解答此类问题要先根据题意列出反比例函数关系式,然后依据实际情况确定函数自变量的取值范围,从而确定函数图象.
【类型四】 反比例函数图象的对称性
A.(2,-1) B.(1,-2)
C.(-2,-1) D.(-2,1)
解析:∵正比例函数y=-2x与反比例函数y=的图象均关于原点对称,∴两函数的交点也关于原点对称.∵一个交点的坐标是(-1,2),∴另一个交点的坐标是(1,-2).故选B.
方法总结:反比例函数y=(k≠0)的图象既是轴对称图形又是中心对称图形,对称轴是一、三(或二、四)象限角平分线所在的直线,对称中心是坐标原点.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
探究点二:反比例函数的性质
【类型一】 根据解析式判定反比例函数的性质
A.图象必经过点(-1,2)
B.y随x的增大而增大
C.图象分布在第二、四象限
D.若x>1,则-2<y<0
解析:A.(-1,2)满足函数解析式,则图象必经过点(-1,2),命题正确;B.在第二、四象限内y随x的增大而增大,忽略了x的取值范围,命题错误;C.命题正确;D.根据y=-的图象可知,在第四象限内命题正确.故选B.
方法总结:解答此类问题要熟记反比例函数图象的性质.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题
【类型二】 根据反比例函数的性质判定系数的取值范围
A.-1 B.3 C.1 D.2
解析:∵反比例函数y=的图象在每一条曲线上,y都随x的增大而减小,∴1-k>0,解得k<1.故选A.
方法总结:对于函数y=,当k>0时,其图象在第一、三象限,在每个象限内y随x的增大而减小;当k<0时,在第二、四象限,在每个象限内y随x的增大而增大,熟记这些性质在解题时能事半功倍.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
三、板书设计
1.反比例函数的图象:双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形.
2.反比例函数的性质:
(1)当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、三象限,在每个象限内y值随x值的增大而减小;
(2)当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、四象限,在每个象限内y值随x值的增大而增大.
通过引导学生自主探索反比例函数的性质,全班学生都能主动地观察与讨论,实现了在学习中让学生自己动手、主动探索、合作交流的目的.同时通过练习让学生理解“在每个象限内”这句话的必要性,体会数学的严谨性.
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