Z变换

 

　　在离散系统分析中为简化运算而建立的对函数序列的数学变换，其作用与拉普拉斯变换在连续系统分析中的作用很相似。Z变换对求解线性差分方程是一种简单而有效的方法。在采样控制理论中,Z变换是主要的数学工具。Z变换还在时间序列分析、 数据平滑、数字滤波等领域有广泛的应用。当一个连续信号x(t)通过每隔T秒钟闭合一次的采样开关时，就得到一个函数序列 x(kT)(k＝0,1,2,…)。函数序列x(kT)在 0、T、2T、…时刻上具有与连续信号x(t)相同的函数值，而在所有其他时刻上均恒为零。函数序列x(kT)的Z变换用X(_z)表示，它的定义为

通常，称X(_z)为像函数，x(kT)为原函数。在Z变换中只考虑原函数在采样时刻的值，所以连续函数x(t)及其函数序列x(kT)具有相同的像函数X(_z)。
　　与拉普拉斯变换的关系 　函数序列 x(kT)的拉普拉斯变换关系式为

由x(kT)的Z变换和拉普拉斯变换的关系式表明，两者的区别仅在于,Z变换中采用的辅助复变量为z【z=exp(Ts)】，而不是通常的复变量s。
　　Z正变换 　由函数序列x(kT)确定对应像函数X(_z)的变换过程，称为Z正变换，简称Z变换。对任一函数序列x(kT)，只要Z变换定义式右端的无穷级数收敛，像函数X(_z)就必定存在。例如，

,

,

等。有关的书中常载有比较详尽的Z变换表。
　　运算性质 　由Z变换的定义式可以建立起原函数 x(kT)和像函数X (_z)在运算上的对应关系。Z变换的运算性质主要有 Z【ax(kT)】＝aX(z)，Z【x₁(kT)＋x₂(kT)】＝X₁(z)＋X₂(z),Z【x(kT＋T)】＝zX(z)-zx(0)等。
　　Z反变换 　从复函数X(_z)确定对应函数序列x(kT)的计算过程称为Z反变换。常用的Z反变换方法有三种。
　　①　通过把X(_z)展开成_z^-1的无穷项幂级数

X(z)=x(0)+x(T)z^-1+x(2T)z^-2+…

来定出 x(kT)在各个采样时刻上的函数值x(0)、x(T)、x(2T)、…。
　　②　把X(z)展开为部分分式和

并计算出常数ɑ_i和b_i,再从Z变换表查出对应于每一个部分分式的原函数。函数序列 x(kT)即为各部分分式的原函数之和。
　　③ 计算反演积分式

　　参考书目
　默斯著，葛明浩译:《Z变换》，人民教育出版社，北京，1980。（E.J.Muth，Transform Methods with Applications　To Engineering and Operations Research,Prentice-Hall,Inc., New York, 1977.)