信号与系统的分析方法有两种:时域分析方法和频域分析方法。
在连续时间信号与系统中,信号一般用连续变量时间t 的函数表示,系统用微分方程描述,其频域分析方法是拉普拉斯变换和傅立叶变换。在时域离散信号与系统中,信号用序列表示,其自变量仅取整数,非整数时无定义,系统则用差分方程描述,频域分析方法是Z变换和序列傅立叶变换法。
Z变换在离散时间系统中的作用就如同拉普拉斯变换在连续时间系统中的作用一样,它把描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程,使其求解大大简化。因此,对求解离散时间系统而言,Z变换是一个极重要的数学工具。
2.2 序列的傅立叶变换(离散时间傅立叶变换)
一、序列傅立叶变换:
正变换:DTFT[x(n)]=
反变换:DTFT-1
式(2.2.1)级数收敛条件为
|
上式称为x(n)绝对可和。这也是DTFT存在的充分必要条件。当遇到一些绝对不可和的序列,例如周期序列,其DTFT可用冲激函数的形式表示出来。
二、序列傅立叶变换的基本性质:
1、 DTFT的周期性
∵
问题1:设x(n)=RN(n),求x(n)的DTFT。
=
设N为4,画出幅度与相位曲线。
2、 线性
设
则:DTFT[a x1(n)+b x2(n)]
=
3、 序列的移位和频移
设
则:DTFT[x(n-n0)] =
=
DTFT[
=
4、 DTFT的对称性
共轭对称序列的定义:设序列
则称
共轭对称序列的性质:
共轭对称序列的实部是偶函数,虚部是奇函数
证明:
∵
∴
∴
∴
一般情况下,共轭对称序列用
共轭反对称序列的定义:设序列
则称
共轭反对称序列的性质:
共轭反对称序列的实部是奇函数,虚部是偶函数
证明:
∵
∴
∴
∴
一般情况下,用
一个序列可用共轭对称序列
x(n)=
问题1:
=
∴
对于频域函数
式中,
且:
下面研究DTFT的对称性,按下面两部分进行分析
a) 将序列x(n)分成实部与虚部,即:
则:
式中:
结论:序列分成实部与虚部两部分,实部对应于
b) 将序列分成共轭对称部分
∵
将上面两式分别进行DTFT,得到:
DTFT[
DTFT[
∴
x(n)=
结论:序列的共轭对称部分
应用:利用DTFT的对称性讨论当h(n)是实序列时,其DTFT的特性。
∵h(n)是实序列,所以它所对应的DTFT:
5、 时域卷积定理
设 y(n)=x(n)*h(n)
则:
证明:y(n)= x(n)*h(n)=
=
=
=
=
6、 频域卷积定理
设y(n) = x(n) h(n)
则
=
证明:
=
=
=
=
7、 Parseval(帕斯维尔)(帕塞瓦尔)定理
证明:
=
=
=
2.5 Z变换的定义与收敛域
一、 Z变换的定义
若序列为x(n),则幂级数
称为序列x(n)的Z变换,也称为双边Z变换。式中z为复变量,它所在的复平面称为z平面。亦可将x(n)的Z变换表示为
ZT[x(n)] = X(z)
二、Z变换的收敛域
我们知道,
X(z)能够收敛的z取值集合称为X(z)的收敛域。
一般收敛域用环状域表示。即:
∴Z变换的公式
常见的Z变换是一个有理函数,表示为:
分子多项式
1、 有限长序列Z变换的收敛域
有限长序列是指在有限区间n1≤n≤n2之间序列具有非零的有限值,在此区间外,序列值皆为零。有限长序列Z变换为
0<|z|<∞。
如n1≥0,收敛域为0<|z|≤∞。
如n2≤0,收敛域为0≤|z|<∞。
2、 右边序列Z变换的收敛域
右边序列是指在n≥n1时,x(n)有值,在n<n1时, x(n)=0。其Z变换为
此式右端第一项为有限长序列的Z变换,它的收敛域为0≤|z|<∞,而第二项是z的负幂级数,它的收敛域为
因果序列是最重要的一种右边序列,即n1=0的右边序列。收敛域为
3、 左边序列Z变换的收敛域
左边序列是指在n≤n2时,x(n)有值,n>n2时,x(n)=0。其Z变换为
此式第二项是有限长序列的Z变换,收敛域为0<|z|≤∞,第一项是正幂级数,收敛域为0≤|z|<Rx+。综合此两项,只有两项都收敛时级数才收敛,所以左边序列Z变换的收敛域为0<|z|<Rx+。
4、 双边序列Z变换的收敛域
这类序列是指n为任意值时x(n)皆有值的序列。
问题1:求序列x(n)= RN(n)的Z变换及收敛域,并画出收敛域。
解:X(z)=
思考:RN(n)的DTFT存在吗?
问题2:x(n)=anu(n),求其Z变换及收敛域,并画出收敛域。
解:这是右边序列,且是因果序列,其Z变换为X(z)=
思考:anu(n)的DTFT存在吗?
问题3:x(n)=-anu(-n-1),求其Z变换及收敛域,并画出收敛域。
解:这是一个左边序列。其Z变换为
收敛域为0≤|z|<|a|(或写成|z|<|a|)。
思考:-anu(-n-1)的DTFT存在吗?
结论:当Z变换的收敛域中包含单位圆时,用Z变换可求出DTFT。
上式称为单位圆上的Z变换就是离散时间傅立叶变换。
回顾:观察零极点。
结论:零点可以在复平面的任意处,但极点在收敛域的边缘或收敛域的外面。
2.5.3 Z反变换
已知序列的Z变换及其收敛域,求序列称为Z反变换。表示为x(n)=ZT-1[X(z)]
其中,c是X(z)收敛域中一条逆时针的闭合曲线。
求Z反变换的方法通常有三种:围线积分法(留数法)、部分分式展开法和长除法。
一、 围线积分法(留数法)
直接计算围线积分比较麻烦,一般都采用留数定理来求解。按留数定理,若函数F(z)=X(z)zn-1在围线c上连续,在c以内有K个极点zk,则有
设zr是X(z)zn-1的单极点,则根据留数定理:
如果zk是L阶极点,则根据留数定理,
(2.5.8)
(2.5.8)表明,对于L阶极点,需要求L-1次导数,这是比较麻烦的。如果c内有多阶极点,而c外没有多阶极点时,可根据留数辅助定理改求c外所有极点之和,使问题简单化。
若函数F(z)=X(z)zn-1在围线c上连续,在c以内有K个极点zk,而在c以外有M个极点zm,(K,M为有限值)。现在c内有多阶极点,而c外没有多阶极点,根据留数辅助定理改求c外所有极点之和。得:
(2.5.9) (2.5.9)应用条件是X(z)zn-1在z=∞有两阶或二阶以上零点,即要分母多项式z的阶次比分子多项式z的阶次高二阶或二阶以上。
问题1:已知X(z)=z2/[(4-z)(z-1/4)],1/4<|z|<4,
解: c ,c为X(z)的收敛域
内的闭合围线,画出收敛域及c。
X(z)zn-1=
当
=
当
=
∴
问题2:已知X(z)=z2/[(4-z)(z-1/4)], |z|>4,
求Z反变换。
内的闭合围线。
X(z)zn-1=
当
函数
=
当n=-1时,x(n)=0,∴x(n)=
当
∴x(n)= (
二、 部分分式展开法
对于大多数单极点的序列,常常用这种部分分式展开法求Z反变换。
X(z)=B(z)/A(z)= X1(z)+ X2(z)+…+ XK(z),则
ZT-1[X1(z)]、ZT-1 [ X2(z)]、…ZT-1 [XK(z)]可从Z变换表中直接查表得出
问题1:设X(z)=z2/[(z-2)(z-0.5)],|z|>2,
求Z反变换。
解:X(z) =z2/[(z-2)(z-0.5)]
A1=
∴
∵收敛域为|z|>2,∴x(n)=
三、 幂级数展开法
因为
所以只要在给定得收敛域内,把X(z)展成幂级数,则级数的系数就是序列
当X(z)的收敛域为|z|>Rx-时,则
当X(z)的收敛域为|z|<Rx-时,则
问题1:已知
解:因为收敛域|z|>3,所以这是因果序列,因此,X(z)分子分母按z的降幂排列。
进行长除
2.5.4 Z变换的基本性质和定理
一、 线性
线性就是要满足比例性和可加性。若
X(z) = ZT [x(n) ],
Y(z) = ZT [y(n) ],
则ZT [ax(n)+by(n)]=a X(z)+b Y(z),
二、 序列的移位
若X(z) = ZT [x(n) ],
则有ZT [x(n-m) ] =z-mX(z),
三、 乘以指数序列
若X(z) = ZT [x(n) ],
则ZT [anx(n) ]=X(
四、 序列乘以n
若X(z) = ZT [x(n) ],
则ZT [n x(n) ]=-z
五、 复序列取共扼
一个复序列x(n)的共扼序列为x*(n)
若ZT [x(n) ] =X(z) ,
则ZT [x*(n) ] =X*(z*) ,
六、 翻转序列
若ZT [x(n) ] =X(z) ,
则ZT [x(-n) ] =X(
七、 (因果序列)初值定理
对于因果序列x(n),即x(n)=0,n<0,ZT[x(n) ] =X(z)有
八、 (因果序列)终值定理
设x(n)为因果序列,且X(z) = ZT [x(n) ]的极点处于单位圆|z|=1以内(单位圆上最多在z=1处可有一阶极点),则
九、 序列的卷积和(时域卷积和定理)
设y(n)为x(n)与h(n)的卷积和
y(n)= x(n)*h(n)=
X(z) = ZT [x(n) ],
H(z) = ZT [h(n) ],
则Y(z) = ZT [y(n) ]= X(z) H(z),
十、 序列相乘(z域卷积定理)
若y(n)= x(n)·h(n),且
X(z) = ZT [x(n) ],
H(z) = ZT [h(n) ],
则Y(z) = ZT [y(n) ]= ZT [x(n)·h(n)]
=
其中c是v平面上,
v平面收敛域为
或Y(z) = ZT [y(n) ]= ZT [x(n)·h(n)]
=
其中c是v平面上,
v平面收敛域为
十一、 帕斯维尔(Parseval)定理
若X(z) = ZT [x(n) ],
H(z) = ZT [h(n) ],
且
则
v平面上,c所在的收敛域为
证明:Y(z) = ZT [x(n)·h*(n)]
=
=
因为
v平面上,c所在的收敛域为
如果X(z),H(z)在单位圆上都收敛,则c可取为单位圆,即
如果h(n)=x(n),则进一步有
2.5.5 利用Z变换解差分方程
在第一章中介绍了差分方程的递推解法,下面介绍Z变换解法。这种方法将差分方程变成了代数方程,使求解过程简单
设N阶线性常系数差分方程为
一、 求
对(2.5.30)求双边Z变换:
2.6 离散系统的系统函数,系统的频率响应
信号和系统的频率特性一般用序列的傅立叶变换和Z变换进行分析。
一、 传输函数与系统函数
设系统初始状态为零,输出端对输入为单位抽样序列d(n)的响应,称为系统的单位抽样响应h(n)。对h(n)进行傅立叶变换得到:
将h(n)进行Z变换,得到
如已知系统的N阶线性常系数差分方程,进行双边Z变换,得到系统函数的一般表示式:
如果
二、 用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性
因果(可实现)系统其单位脉冲响应h(n)一定满足:当n<0时,h(n)=0,那么其系统函数
系统稳定要求
所以系统因果且稳定,收敛域包含¥点和单位圆,那么收敛域表示为:r<|z|≤∞,0<r<1。也就是说系统函数的全部极点必须在单位圆内。
问题1:一个因果系统的系统函数为
解:因为系统因果,所以收敛域为|a|<|z|≤∞,为使系统稳定,必须要求收敛域包含单位圆,即要求|a|<1。
三、 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性
将上式因式分解,得到:
式中,
设系统稳定,将z=
在z平面上,
将向量用极坐标表示:
当频率w从零变化到2p时,这些向量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周,按照(2.6.8)和(2.6.9)分别估算出系统的幅度特性和相位特性。
按照(2.6.8)知道零极点的分布后,可以很容易地确定零极点位置对系统特性的影响。当B点转到极点附近时,极点矢量长度最短因而幅度特性可能出现峰值,且极点愈靠近单位圆,极点矢量长度愈短,峰值愈高愈尖锐。如果极点在单位圆上,则幅度特性为¥,系统不稳定。对于零点,情况相反,当B点转到零点附近,零点矢量长度变短,幅度特性将出现谷值,零点愈靠近单位圆,谷值愈接近零。当零点处在单位圆上时,谷值为零。总结以上结论:极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度,零点位置主要影响频响的谷点位置及形状。
1.5 模拟信号数字处理方法
数字信号处理技术优于模拟信号处理技术,故人们将模拟信号数字化,即经过采样、量化编码最终形成数字信号。
连续时间信号变为离散时间信号是由“采样”这一过程完成的。采样是将模拟信号数字化的第一个环节。它是利用周期性抽样脉冲序列(常用p(t)表示)从连续信号中抽取一系列的离散值来得到抽样信号的。如下图,根据每个脉冲宽度的不同,可将抽样分为两种:
理 想 抽 样 实 际 抽 样
我们要研究的是,信号被抽样后其频谱将会有什么变化?在什么条件下,可从抽样信号
设:xa(t)的傅立叶变换为:
∵
由上图得,抽样脉冲序列p(t)的周期为T,则抽样频率
一、理想抽样
p(t)=
∴
=
=
二、抽样定理
要想抽样后能不失真的还原出原信号, 则抽样频率必须大于两倍的信号谱最高频率即
对连续信号进行等间隔采样形成采样信号,采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的。
三、抽样的恢复
如果满足抽样定理,则抽样后不会产生频谱混叠,故将
虽然理想低通滤波器是不可实现的,但在一定精度范围内可以用可实现的滤波器来逼近
下面讨论如何由抽样值来恢复原来的模拟信号。即
=
=
这就是内插值公式,即由信号的抽样值
总结:如果序列是通过对模拟信号采样得到的,有关系:x(n)=xa(nT),即序列值对于对模拟信号的采样值,或者说对于采样信号在t=nT时的幅度。
例:
x(n)=
∴ ω0= WT 数字域频率与模拟角频率之间的关系。
ω0= WT= W/fs=2pf/fs
2. 4时域离散信号的傅立叶变换与模拟信号傅立叶变换之间的关系
连续信号
理想抽样后的抽样信号为
则抽样信号的傅立叶变换
离散时间信号x(n)=xa(nT),x(n)的傅立叶变换为:
抽样信号的傅立叶变换
可以证明,
画
画
坐标轴之间的对应关系如下图所示。
在一些文献中经常使用归一化频率
所以数字频率0、2p处是低频,p附近代表高频。
当抽样频率是信号最高频率
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