李晓明教授
0 引 言
计算思维谈了十多年了。如果于概念辨析的层面探讨，似乎还没有形成共识的“定义”。事实上，并非任何事情都要先搞清楚定义才能展开内涵研究和实践，许多方向性的话题，本就不好下定义。然而，十多年没搞清楚定义，却还有人愿意继续谈，一定是这个词语后面蕴涵着某种比较广阔的人们觉得有价值的东西。于是，可以重点讨论或者展示些具体的做法和例子。是否属于计算思维的范畴，有些不同的看法也正常，重点是事情具体了，价值就容易判断。
本文提出一种教学思路，面向非计算机专业的学生（这里不一定只是在校生），不追求让他们系统掌握什么，只是希望通过一种过程，让他们感受到“计算思维”的魅力。
这个过程应该是轻松愉快的，否则感受到的就不是“魅力”了；这个过程也应该是有挑战性的，否则感受到的就不是“计算思维的魅力”了。我们姑且把这个过程称为“从趣味数学到趣味算法到趣味编程”，或者短一些，就叫“趣味数算程”。
1 从趣味数学说起
为什么起点是“趣味数学问题”而不是什么“生活中的真实问题”？这是另外一个话题了。用生活中的真实问题作为引导，当然也是有价值的。这里可以说的是，用已经抽象好的趣味数学问题作为引导，不仅有价值，而且对初学者来说会相对容易些。
这里，可能有敏感的读者会提问题：“等等，计算思维不是强调抽象吗？用已经抽象好的问题作为出发点，不就丧失了体会‘抽象’的机会？”
我的回答是：“这里只是完成了‘ 数学抽象’的问题，计算抽象还在后面呢！”
这样一种说法，得益于最近这两年参与讲授一门北大社会学系的课程，对于我讲的那些内容的风格，学生给了一个概括：概念抽象→数学抽象→计算抽象。可以说，这真是教学相长了。我自己先前就没总结出这么漂亮（而且贴切）的说法，只是朴素地凭感觉铺陈那些内容。
为什么以趣味数学为起点？还有一个个人的原因。记得大约是上小学三四年级的时候，不知从哪弄来一本书，叫《趣味数学》，上面有许多有趣的小题目，不是都看得懂，但其中一些内容已足以让人很有兴致，有些题目直到现在都还记得，偶尔会在脑海中蹦出来。当然，那本书后来就不知去向了。
前年某个时候，不知怎么又想起了它，抱着试一试的心态，到一个旧书网，居然淘到了这本 1961年少年儿童出版社出的书（如图 1 所示）。翻一翻，非常亲切。结合最近这几年参与编写基于高中信息技术新课标的教材《算法初步》，意识到许多趣味数学问题（或者说数学游戏）的解，都是一个过程描述（即先做什么，再做什么，然后做什么等），也就是一个“算法”了。不过从讨论“计算机算法”的角度，那些问题有局限性，即它们都很具体，相当于计算机科学中某问题的一个“实例”。
图 1 1961 年少年儿童出版社出版的《趣味数学》
于是，一个思路自然浮现出来：从《趣味数学》中的问题出发，将它们一般化，讨论在一般化情形下的解，即计算机算法，最后用程序予以表达，从而形成一条从趣味数学到趣味算法到趣味编程的途径。
2 从趣味算法到趣味编程
《趣味数学》中适合的问题有很多，由于篇幅原因，本文仅通过下面这样一个例子展现这条途径的风格，也相信读者能有更多、更好的例子。
《趣味数学》中的一个问题：移棋子。将黑白 6 只棋子在桌上黑白相间地排成一排——黑白黑白黑白，左边留出够放 4 只子的空位，现在要把这 6 只子移成 3 只白子在左边、3 只黑子紧接在右边的样子（如图 2 所示）。要求是必须一次并列移两子，把它们移到空位上，不能更改子的顺序，只可移 3 次解决问题。
三年级以上小学生能理解这个问题。想一想，试一试，10 分钟内通常就能解决，也就是给出了一个三步骤算法。这里留给读者来做。
但我们不能就此满足。现在 3 对黑白相间棋子的问题会求解了，那么如果是任意 n（n ＞ 3）对，是不是也会求解呢？我们需要有一个以 n 为参数的计算机算法！
怎么做？对熟悉计算机科学的人来说，马上能想到的可以试一试的思路就是“约简”。希望求解关于 n 的问题，就看能否先解决 n-1 的问题，然后在那基础上做些“增量性”工作，得到关于 n 的解。这种思路递归下去，到了 n=3，就可用前面提到的办法了。于是，重点就在于“增量性”工作该怎么做。图 3（a）展示了一个方案：以 3 对棋子已经移好了作为初始状态，经过靠拢、交界、到位、凑整、回填 5 个步骤，完成 4 对棋子的移动任务。
审视这 5 个步骤，我们能体会到这种增量性操作具有一般性，也就是在 4 对已经完成的基础上再用类似的5 步，就能完成 5 对棋子的移动任务等。至此，作为算法描述和理解也就透彻了，的确看到了一个对所有 n ＞3 的解决方案。我们实现了一个从特殊（n=3）到一般的升华，从趣味数学到了趣味算法。
那么，若编出程序来，还能带来什么新的价值吗？是的，如果我们心目中的程序是要基于输入 n，一步步输出展示一个类似于图 3（a）所示的过程（当然还要加上最初 3对是怎么完成的），就会有至少两条很有价值的考虑：
首先，信息的表示，即如何在程序中用数据表示棋子局面的状态和变化过程。简单起见，只考虑字符方式。程序的执行，就可能想象输出如图 3（b）所示的结果。从学理的角度讲，就是要体现信息和数据的关系，利用编程语言提供的能力，做一个从信息到数据的映射。
再者，这样一个针对 n 的过程，显然有递归的味道，当然可用递归实现，同时也很容易用迭代来实现，也就促进了对这两种基本方式的理解和运用。图 4 就是一个完整的程序（迭代方式），图 3（b）则是它的一次执行结果。
有些编程基础的读者会看到这程序真的很简单，几乎不需要数据结构，也没有复杂的过程控制，其中有点挑战的细节，就是让图 3（a）所示的 5 个步骤“参数化”，每次移动的具体位置与已经完成的状态相关，程序中就是通过 p 实现的。这样的程序，从对编程能力的要求来看，初级水平就可以胜任，所需要的，是清晰的逻辑思维和算法思维能力。
这种程序本身并不复杂，可一旦实现，带来的却是惊喜，因为它意味着走完了一条有点曲折，但每个弯都能过去且引人入胜的途径。《趣味数学》中的许多例子，都有类似的样式：从算法的角度分析清楚后，最后落实到程序都不需要专业的编程能力。
3 结 语
如果有进一步的追求，马上可以问的问题是：前面说的这个算法在效率上是最优的吗？如果有 n对棋子，现在的做法是需要 3 5×（n-3）次操作。还能否再改进？结论是可以的，但如何能简单描述，则是另一个层面的挑战了。
经常会听到这样的纠结：非计算机专业的学生该不该学编程？如果该学，该如何学？当然，非计算机专业也有不同的情况，这里主要谈传统上认为离得比较远的，如社会科学专业的学生。
我现在认为，他们应该编程，但没必要“学”编程。这里给“学”打上引号，是指那种很正式地选一门计算机语言编程课的方式。那么，不学怎么会呢？答案是“在用中学”！就像一些应用软件，人们都没有“学”，但都在不同程度（不同水平）上用一样。类似于 Python 这种层次的解释型语言，是可以高效“嵌入到”一些问题求解过程中的。这种过程可能需要抽象、分析、推理，也可能需要写些文字，还可能需要算出几个数，对某些现象进行简单模拟，于是需要写几行代码等。这就是“面向问题求解”，而不是为了编程而编程。本文以数学游戏问题为例，展示了一条途径。不同专业学科自然可以选择各自的问题作为出发点，培养训练这种“融会贯通”的能力。
引文格式：李晓明.从趣味数学到趣味算法到趣味编程——非专业学习者体会计算思维的一条途径？[J].计算机教育，2020（11）：优先出版.
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（微信编辑：史志伟）
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