开宗明义：何为斯图尔特定理？

斯图尔特定理（Stewart theorem）D是△ABC的边BC上任意一点，则

AB²·DC+AC²·BD－AD²·BC=BD·DC·BC.

据史料记载，该定理在公元前3世纪由阿基米德首先发现，1751年由数学家Simson首次证明，但因苏格兰数学家马修·斯图尔特（Matthew Stewart，1717-1785）曾经说明过这个定理，便称其为斯图尔特定理了。可用来计算三角形中的一些特殊线段的长。

证明：

如图4-14，作AE⊥BC，设C、D在E的两侧，则∠ADC是锐角，∠ADB是钝角。

由余弦定理及DE=AD·cos∠ADC，得

AB²=BD²+AD²-2BD·AD·cos∠ADB

=BD²+AD²+2BD·DE. ①

同理得 AC²=CD²+AD²-2DC·DE ②

①×DC+②×BD，得

AB²·DC+AC²·BD=AD²·(BD+DC)+

BD·DC(BD+DC)，

即

AB²·DC+AC²·BD－AD²·BC=BD·DC·BC.

□ ［《数学名题词典》page350-351，(涂荣豹)江苏教育出版社2002.6］

数学期刊介绍斯图尔特定理

来源：数理天地 (初中版) 《数理天地：初中版》 | 2016年第005期 | P.34-35 | 共2页

标题：从斯图尔特定理谈起

作者：程自顺

作者单位：陕西省西安市陕西师范大学附属中学, 710061

程自顺

抄录笔记1

定理述评

斯图尔特定理由苏格兰数学家Matthew Stewart在1746年发表, 本文首先给出它的一个简易证明, 然后据它推出阿波罗尼斯定理、库斯顿定理和托勒密定理及等腰三角形中的两个结论.

本文约定：在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，p=½(a+b+c).

1. 斯图尔特定理

图1

如图1, P是△ABC的边BC上任意一点, 连接AP, 则

AB²·PC+AC²·PB-AP²·BC=PB·PC·BC.

证明：如图1, 从A作AD⊥BC于D, 则

图3

如图3, 即“平行四边形四条边长的平方和 (一组邻边长平方和的2倍) 等于其对角线长的平方和”.

阿波罗尼奥斯定理

3. 库斯顿定理

库斯顿定理

图4

如图4, 若AP平分∠BAC, 则有

此结论由荷兰人库斯顿提出, 说明“在三角形中, 其中一个角的角平分线的平方等于夹这个角的两边的乘积与截对边的两条线段的乘积之差”, 被称为库斯顿定理.

需要指出的是, 由上述过程可以推出三角形角平分线长的计算公式:

4. 托勒密定理

如图5, 作△ABC的外接圆⊙O, 延长AP交⊙O于D, 连接BD、CD, 得⊙O的内接四边形ABDC, 易知△CDP∽△ABP, △BPD∽△APC, 从而有

图5

故CD·AB+BD·AC

这说明:圆内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积, 此即为著名的托勒密定理.

托勒密定理的相关资料：

5. 等腰三角形中的两个结论

结论1等腰三角形底边上任意一点到顶点的距离的平方与到底边两端点距离的乘积之和等于腰长的平方 (定值) .

图6

结论2 等腰直角三角形斜边上任意一点到斜边两端点距离的平方和等于它到直角顶点距离平方的2倍.

图7

证明：如图7，若

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